Yapay zekâ ile üretilen TYT Matematik sorularının açık kaydı
Bu sayfada, TYT Matematik “Problemler” konusu için ürettiğimiz soruların tamamını bulacaksınız. Her soruyu ürettiğimiz gibi değil, kontrol ettikten sonra gösteriyoruz: her sorunun nasıl çözüldüğünü, hangi yanlış şıkkın öğrenciyi hangi hataya düşürdüğünü, ne kadar zor olduğunu ve hangi denetimlerden geçtiğini okuyabilirsiniz. Elediğimiz soruları da sakladık — neyi kabul etmediğimiz, neyi kabul ettiğimiz kadar önemli.
30 soru üretildi, 1 tanesi elendi, 29 tanesi henüz denetlenmedi. Aynı sorular, farklı bir yapay zekâ ile üretildi.
Bir satıcı, aynı türden iki ürünü sırasıyla $2$ ve $5$ ile doğru orantılı olacak biçimde toplam $105$ TL karşılığında satıyor. Bu iki ürünün satış fiyatları arasındaki fark kaç TL'dir?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Oran farkı $5-2$ birim, oranların toplamı ise $2+5$ birimdir. Buna göre fiyat farkı toplam tutarın bu oranıdır.
Sonuç: $45$ TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Oran toplamını $2+5=7$ bulup $105/7=15$ hesaplar; ancak oran farkının $5-2=3$ birim olduğunu dikkate almaz.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Bir oran birimini $15$ TL bulduktan sonra küçük ürünün fiyatı olan $2\cdot15=30$ TL'yi, fiyat farkı sanır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Büyük ürünün fiyatını $5\cdot15=75$ TL bulur; küçük ürünün payını yanlışlıkla $15$ TL alıp $75-15=60$ hesaplar.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Büyük ürünün fiyatını $5\cdot15=75$ TL olarak doğru bulur; fakat iki fiyat arasındaki fark yerine bu fiyatı yazar.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir sayının 4 katına 20 eklendiğinde 60 elde ediliyor. Bu sayı kaçtır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Sayıya $x$ denir ve verilen koşula göre denklem kurulur.
Her iki taraf 4'e bölünerek sayı bulunur.
Sonuç: 10
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, 4 kat olma koşulunu ve toplama işlemini dikkate almadan yalnızca sonuç olan 60'ı eklenen sayı olan 20'ye bölerse $60/20=3$ sonucuna ulaşır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, $4x+20$ ifadesini yanlışlıkla $(4+20)x$ olarak kurarsa $24x=60$ ve $x=2,5$ sonucunu bulur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, elde edilen 60 sonucunu kullanmayıp 20'yi 4'e bölerse $20/4=5$ sonucuna ulaşır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, toplama işlemini çarpma gibi yorumlayıp $4\cdot20\cdot x=60$ denklemini kurarsa $x=60/80=0,75$ sonucunu elde eder.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir öğrenci, 240 sayfalık bir kitabın ilk gün $\frac{3}{4}$'ünü okuyor. İkinci gün ise ilk gün okumadığı sayfaların $\frac{1}{3}$'ünü okuyor. Öğrencinin ilk gün okuduğu sayfa sayısı, ikinci gün okuduğu sayfa sayısından kaç fazladır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
İlk gün okunan sayfa sayısı bulunur.
İlk gün okunmayan sayfaların üçte biri, ikinci gün okunan sayfa sayısıdır.
İki gündeki okuma sayıları arasındaki fark hesaplanır.
Sonuç: 160
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
İkinci gün okunan sayfa sayısını, kalan sayfaların değil kitabın tamamının $\frac{1}{3}$'ü kabul ederse $240\cdot\frac{1}{3}=80$ bulur. İlk günkü $180$ sayfadan $80$ çıkarınca $100$ elde eder.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İkinci gün kalan sayfaların yalnızca $\frac{1}{3}$'ünün okunduğu koşulunu atlayıp, kalan sayfaların tamamını ikinci gün okunmuş kabul eder. $180-(240-180)=180-60=120$ sonucuna ulaşır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
İlk gün sonunda $240-180=60$ sayfa kaldığını, ikinci gün $60\cdot\frac{1}{3}=20$ sayfa okunduğunu bulur; ancak istenen farkı hesaplamadan ikinci günkü okuma sayısını cevap olarak verir.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
İki gün okunan sayfa sayıları arasındaki fark yerine toplamı hesaplar: $180+20=200$.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Zeynep, kardeşinden $4$ yaş büyüktür. $2$ yıl sonra Zeynep'in yaşı, kardeşinin o zamanki yaşının $\frac{3}{2}$ katı olacaktır. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
Kardeşinin şimdiki yaşına $x$ denirse Zeynep'in şimdiki yaşı yaş farkı nedeniyle $x+4$ olur.
İki yıl sonraki yaşlar kullanılarak verilen oran yazılır.
Denklem çözülür. Buna göre Zeynep'in şimdiki yaşı hesaplanır.
Sonuç: Zeynep'in şimdiki yaşı $10$'dur.
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Yaş oranını bugünkü yaşlar arasında kabul edip $\frac{x+4}{x}=\frac{3}{2}$ denklemini kurarsa $x=8$ ve Zeynep'in yaşı $12$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İki yıl sonraki yaş hesabında yalnız kardeşin yaşına $2$ ekleyip $\frac{x+4}{x+2}=\frac{3}{2}$ yazarsa $x=2$ ve Zeynep'in yaşı $6$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İki yıl sonraki yaş hesabında yalnız Zeynep'in yaşına $2$ ekleyip $\frac{x+6}{x}=\frac{3}{2}$ yazarsa $x=12$ ve Zeynep'in yaşı $16$ bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Verilen $4$ yaş farkını, kardeşin şimdiki yaşı sanarsa bu ifadeyi seçer.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir duvarı Eren tek başına $12$ günde, Sibel ise tek başına $24$ günde boyayabilmektedir. İkisi birlikte $4$ gün çalıştıktan sonra Eren ayrılıyor. Sibel, duvarın kalanını tek başına kaç günde boyar?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Eren ve Sibel'in bir günlük iş yapma miktarları toplanır.
Birlikte 4 günde duvarın yaptıkları kısmı bulunur.
Duvarın boyanmamış kısmı belirlenir.
Sibel duvarın tamamını 24 günde boyadığına göre kalan yarısını 12 günde boyar.
Sonuç: 12 gün
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Birlikteki günlük iş miktarını $ rac{1}{12}+ rac{1}{24}= rac{1}{6}$ olarak yanlış toplar. Bu durumda 4 günde işin $ rac{2}{3}$'ünün bittiğini, kalan $ rac{1}{3}$'lük kısmı da Sibel'in $24$ günlük hızıyla $8$ günde boyayacağını bulur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Birlikte 4 günde işin yarısının bittiğini doğru bulur; ancak kalan yarım duvarı Sibel'in $24$ günlük süresi yerine Eren'in $12$ günlük süresine göre hesaplayarak $ rac{12}{2}=6$ sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Kalan yarım duvar için Sibel'in $24/2=12$ gün çalışması gerektiğini bulur. Ardından birlikte çalışılan 4 günün yarısını Sibel'in tek başına yaptığı çalışma süresi gibi kabul edip $12-2=10$ hesaplar.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Birlikteki günlük hızın $ rac{1}{8}$ olduğunu ve işin yarısının kaldığını bulur; fakat Eren'in ayrıldığı koşulunu atlayarak kalan işi de ikisinin birlikte bitireceğini varsayar. $ rac{1/2}{1/8}=4$ gün sonucuna ulaşır.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir yardım etkinliğinde toplanan paranın $\%40$'ı kitap alımına ayrılmıştır. Bu ayrılan tutar, ek destekle $\%25$ artırıldığında $250$ TL olmuştur. Buna göre, etkinlikte başlangıçta toplanan para kaç TL'dir?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Başlangıçta toplanan para $x$ TL olsun.
Kitap alımına ayrılan para, toplam paranın $\%40$'ıdır.
Bu tutar $\%25$ artırıldığında $250$ TL olduğundan denklem kurulur.
Çarpım sadeleştirilerek $x$ bulunur.
Başlangıçta toplanan para belirlenir.
Sonuç: 500 TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
$\%25$ artışı geriye alırken tutarı $1{,}25$'e bölmek yerine $\%25$ azaltır: $250\cdot0{,}75=187{,}5$. Ardından $187{,}5\div0{,}40=468{,}75$ bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
$\%40$'lık tutarın $\%25$ artırılmasını, oranı yüzde puan olarak $\%40+\%25=\%65$ kabul ederek hesaplar: $250\div0{,}65\approx384{,}62$.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Ek destekle yapılan $\%25$ artışı dikkate almaz ve $250$ TL'nin başlangıç parasının $\%40$'ı olduğunu varsayar: $250\div0{,}40=625$.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
$250$ TL'yi, başlangıçtaki paranın $\%40$'ının artırılmış hâli yerine doğrudan $\%25$'i kabul eder: $250\div0{,}25=1000$.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Maliyet fiyatları oranı $3:5$ olan iki üründen ikincisinin maliyeti, birincinin maliyetinden $84$ TL fazladır. Bir satıcı birinci ürünü, etiket fiyatı üzerinden %20 indirim uyguladığı hâlde maliyet fiyatının %20'si kadar kârla satmıştır. Buna göre birinci ürünün etiket fiyatı kaç TL'dir?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Maliyet fiyatları oranı $3:5$ olduğundan, birinci ve ikinci ürünün maliyetleri sırasıyla $3x$ ve $5x$ alınır.
İki maliyet arasındaki fark $84$ TL olduğundan $x$ bulunur ve birinci ürünün maliyeti hesaplanır.
Ürün, maliyetinin %20'si kadar kârla satıldığı için indirimden sonraki satış fiyatı belirlenir.
Satış fiyatı, etiket fiyatının %20 indirimli hâlidir. Etiket fiyatı geriye doğru bulunur.
Sonuç: $189$ TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Birinci ürünün maliyeti $126$ TL bulunur. Maliyetin %20'si kadar kârla satış fiyatı $126\cdot1{,}2=151{,}2$ TL'dir. İndirimin etiket fiyatından yapıldığını tersine çevirmeden bu satış fiyatını etiket fiyatı sanan öğrenci bu değere ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Kâr yüzdesini maliyet yerine satış fiyatı üzerinden alıp $S-126=0{,}2S$ denklemini kuran öğrenci $S=157{,}5$ TL bulur. Daha sonra %20 indirimi doğru biçimde tersine çevirerek $E=157{,}5/0{,}8=196{,}875$ TL sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Kârın maliyet fiyatının değil, etiket fiyatının %20'si olduğunu varsayan öğrenci indirimi de etiket fiyatının %20'si alarak $0{,}8E=126+0{,}2E$ yazar. Buradan $0{,}6E=126$ ve $E=210$ TL elde eder.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Maliyet oranını ters yorumlayıp birinci ürünün maliyetini $5x$, ikincinin maliyetini $3x$ alır; farkın büyüklüğünden $2x=84$, dolayısıyla birinci maliyetini $210$ TL bulur. Ardından doğru fiyat ilişkisini kullanarak $210\cdot1{,}2/0{,}8=315$ TL sonucuna ulaşır.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir kapta, tuz oranları sırasıyla $\%30$ ve $\%50$ olan iki tuzlu su karışımı, hacimleri $2:3$ oranında olacak biçimde karıştırılıyor. Elde edilen homojen karışımın $5$ litresi dökülüyor ve kaba $10$ litre saf su ekleniyor. Son durumda kaptaki tuz oranı $\%30$ olduğuna göre, başlangıçta kaç litre tuzlu su karıştırılmıştır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Karışım miktarları $2k$ ve $3k$ litre olarak alınır.
Başlangıçtaki toplam karışım hacmi belirlenir.
İlk karışımdaki tuz miktarı hesaplanır.
İkinci karışımdaki tuz miktarı hesaplanır.
Başlangıçtaki toplam tuz miktarı bulunur.
Başlangıç karışımının tuz oranı hesaplanır.
Dökülen $5$ litredeki tuz miktarı ve kapta kalan tuz miktarı belirlenir.
$5$ litre dökülüp $10$ litre su eklendiğinden son hacim yazılır.
Son tuz oranı kullanılarak denklem çözülür.
Başlangıçtaki toplam hacim hesaplanır.
Sonuç: 30
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Homojen karışımdan $5$ litre dökülmesinin, sonradan su eklendiğinde oranı etkilemeyeceğini varsayar. Başlangıçtaki tuz miktarını $2{,}1k$, son hacmi de $5k+10$ alıp $\frac{2{,}1k}{5k+10}=0{,}30$ yazar. Buradan $k=5$ ve başlangıç hacmi $25$ litre bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Hacimler $2:3$ oranında olmasına rağmen iki karışımın tuz oranlarını eşit ağırlıklı ortalama ile $\%40$ kabul eder. Kalan tuz miktarını $2k-2$, son hacmi $5k+5$ alarak $\frac{2k-2}{5k+5}=0{,}30$ yazar. Buradan $k=7$ ve başlangıç hacmi $35$ litre elde edilir.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Dökülen karışımın tuz miktarını doğru biçimde $2{,}1$ litre çıkarır; ancak son hacmi hesaplarken dökülen $5$ litreyi hacimden çıkarmaz. $\frac{2{,}1k-2{,}1}{5k+10}=0{,}30$ denkleminden $k=8{,}5$ bulunur. Başlangıç hacmi $5k=42{,}5$ litredir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Dökülen $5$ litre karışımı, tuz miktarından doğrudan $5$ litre eksiltir. Böylece $\frac{2{,}1k-5}{5k+5}=0{,}30$ denklemini kurar. Buradan $k=\frac{65}{6}$ ve başlangıç hacmi $5k=\frac{325}{6}$ litre bulunur.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir araç, bir yolun ilk $\frac{2}{5}$’ini saatte $x$ km hızla, kalan $\frac{3}{5}$’ini ise ilk hızından $20$ km fazla hızla alıyor. Aracın yolculuk boyunca ortalama hızı saatte $50$ km olduğuna göre, ilk kısımdaki hızı kaç km/saattir?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Yolun parçalara ayrılma oranına uygun olarak toplam yolu $5k$ km alalım.
İlk kısım toplam yolun $\frac{2}{5}$’i olduğundan bu kısmın uzunluğu $2k$ km’dir.
Kalan kısmın uzunluğu $3k$ km, bu kısımdaki hız ise $x+20$ km/saattir.
Her iki kısım için süreleri yolun hıza bölümüyle yazalım.
Ortalama hız $50$ km/saat olduğundan toplam süre $\frac{5k}{50}=\frac{k}{10}$ saattir.
Denklemi sadeleştirip pozitif hızı seçelim.
Sonuç: 40
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İlk $\frac{2}{5}$’lik kısımda hızı $x+20$, kalan $\frac{3}{5}$’lik kısımda hızı $x$ alırsa $\frac{2}{x+20}+\frac{3}{x}=\frac{1}{10}$ denklemi kurulur. Buradan $x^2-30x-600=0$ ve pozitif kök $15+5\sqrt{33}$ bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Süreleri yolun hızlara bölümü yerine hızların yol parçalarına bölümü olarak düşünüp $\frac{x}{2}+\frac{x+20}{3}=50$ yazarsa $3x+2x+40=300$ olur. Buradan $x=52$ elde edilir.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
İkinci kısımdaki hızı $x+20$ yerine $x-20$ alırsa $\frac{2}{x}+\frac{3}{x-20}=\frac{1}{10}$ denklemini kurar. Bu denklemden $x^2-70x+400=0$ ve $x>20$ koşulunu sağlayan kök $35+5\sqrt{41}$ olur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Toplam yol $5k$ iken, ortalama hızdan toplam süreyi yanlışlıkla $\frac{k}{50}$ alırsa $\frac{2}{x}+\frac{3}{x+20}=\frac{1}{50}$ yazılır. Buradan $x^2-230x-2000=0$ ve pozitif kök $115+5\sqrt{609}$ bulunur.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir mahallede yardım alan ailelerde birey sayısı $3$ veya daha az ise aileye $2$ paket, $3$ten fazla ise $3$ paket yardım verilmektedir. Her ailede en fazla $8$ kişi yaşamaktadır. Toplam $506$ paket yardım dağıtıldığına göre, $2$ paket yardım alan aile sayısının $3$ paket yardım alan aile sayısına oranı $4:5$ ise bu mahallede yaşayan kişi sayısı en çok kaç olabilir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
İki paket alan aile sayısı $x$, üç paket alan aile sayısı $y$ olsun.
Verilen oran nedeniyle aile sayıları ortak bir katsayıyla yazılır.
Dağıtılan paketlerin toplamı için denklem kurulur.
Aile sayıları bu denklemde yerine yazılır.
Ortak katsayı bulunur.
Her türdeki aile sayısı hesaplanır.
Nüfusun en büyük olması için iki paket alan ailelerin her biri $3$, üç paket alan ailelerin her biri $8$ kişilik olmalıdır.
Aile sayıları kullanılarak en büyük nüfus bulunur.
Sonuç: 1144
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Üç paket alan ailelerdeki kişi sayısının en fazla $8$ olması koşulunu ters yorumlayıp bu ailelerin $9$ kişiden oluşabileceğini kabul ederse, aile sayıları $88$ ve $110$ bulunur. Bu durumda $3\cdot88+9\cdot110=1254$ sonucuna ulaşır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
İki paket alan aile sayısı ile üç paket alan aile sayısının oranını yanlışlıkla $5:4$ alırsa aile sayıları $5k$ ve $4k$ olur. $2\cdot5k+3\cdot4k=506$ eşitliğinden $k=23$; en büyük nüfus da $3\cdot115+8\cdot92=1081$ bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İki paket alan ailelerdeki en büyük birey sayısını, koşuldaki $3$ ile verilen paket sayısını toplayarak yanlışlıkla $5$ kabul ederse aile sayıları $88$ ve $110$ için $5\cdot88+8\cdot110=1320$ sonucunu elde eder.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Üç paket alan ailelerin en fazla $8$ kişilik olabileceği bilgisini gözden kaçırıp bu aileleri en çok $7$ kişilik kabul ederse, $3\cdot88+7\cdot110=1034$ sonucuna ulaşır.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir kırtasiyeden yapılan iki ayrı alışta alınan aynı tür kalemlerin sayıları sırasıyla $3$ ve $5$ ile doğru orantılıdır. İkinci alışta $40$ kalem alındığına göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
Doğru orantıda kalem sayılarının oranı, verilen oranların oranına eşittir.
Sonuç: Birinci alışta 24 kalem alınmıştır.
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
İkinci alıştaki 40 kalemi, oranındaki 5'e bölüp elde edilen 8'i doğrudan birinci alıştaki kalem sayısı kabul eden öğrenci bu sonuca ulaşır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Birinci alışın oran katsayısı olan 3 ile ikinci alıştaki 40 kalemi çarpıp oranı 5'e bölmeyi atlayan öğrenci $3\cdot40=120$ sonucuna ulaşır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Doğru orantı yönünü ters kurarak $\frac{x}{40}=\frac{5}{3}$ yazan öğrenci $x=\frac{200}{3}$ sonucuna ulaşır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Oranlardaki 3'ü, ikinci alıştaki kalem sayısından doğrudan çıkaran öğrenci $40-3=37$ sonucuna ulaşır.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir sayının $4$ katının $6$ fazlası, aynı sayının $5$ katının $10$ eksiğine eşittir. Buna göre bu sayı kaçtır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Aranan sayıya $x$ denir.
Verilen sözel ifadeler denkleme dönüştürülür.
Bilinmeyenler bir tarafta, sabit terimler diğer tarafta toplanır.
Sonuç: 16
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
“$4$ katının $6$ fazlası” ifadesini yanlışlıkla $4x-6$ alırsa $4x-6=5x-10$ olur. Buradan $x=4$ bulunur.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
“$5$ katının $10$ eksiği” ifadesindeki eksiği yanlışlıkla artı kabul ederse $4x+6=5x+10$ denklemini kurar. Buradan $x=-4$ elde edilir.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
“$4$ katının $6$ fazlası” ifadesindeki $6$ fazlasını dikkate almazsa $4x=5x-10$ yazar. Bu denklemden $x=10$ bulunur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Doğru olarak $x=16$ sonucuna ulaştıktan sonra, $5x$ ifadesindeki katsayıyı bir kez daha bölmesi gerektiğini sanıp $16\div5$ işlemi yaparsa $3,2$ sonucunu elde eder.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir depodaki suyun önce $\frac{2}{5}$'i boşaltılıyor. Daha sonra depoda kalan suyun $\frac{1}{3}$'ü kullanılıyor. Depoda $48$ litre su kaldığına göre depo başlangıçta kaç litre su içeriyordu?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
İlk boşaltmadan sonra depoda başlangıçtaki suyun $\frac{3}{5}$'i kalır.
Bu kalan suyun $\frac{1}{3}$'ü kullanıldığı için $\frac{2}{3}$'ü depoda kalır.
Denklem çözülür.
Sonuç: 120
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İkinci aşamada kalan suyun $\frac{1}{3}$'ünün kullanıldığı koşulu atlayıp yalnızca ilk boşaltmadan sonraki miktarı $48$ kabul eder: $\frac{3}{5}X=48$. Buradan $X=80$ bulunur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
İkinci kullanımı, depoda kalan suyun değil başlangıçtaki suyun $\frac{1}{3}$'ü kabul eder: $X-\frac{2}{5}X-\frac{1}{3}X=48$. Buradan $\frac{4}{15}X=48$ ve $X=180$ elde edilir.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Suyun $\frac{1}{3}$'ünün kullanılması sonucunda kalan kısmın başlangıçtaki suyun $\frac{2}{3}$'ü olduğunu varsayar ve ilk boşaltmayı dikkate almaz: $\frac{2}{3}X=48$. Buradan $X=72$ bulur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
İkinci aşamada kullanılan suyu, depoda kalan suyun değil ilk boşaltılan suyun $\frac{1}{3}$'ü alır: $X-\frac{2}{5}X-\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}X=48$. Buradan $\frac{7}{15}X=48$ ve $X=\frac{720}{7}$ bulunur.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir annenin şimdiki yaşı, oğlunun şimdiki yaşının $3$ katının $4$ eksiğidir. $8$ yıl sonra ikisinin yaşları toplamı $52$ olacağına göre, oğlunun şimdiki yaşı kaçtır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Oğlun şimdiki yaşına $x$ denirse annenin şimdiki yaşı verilen koşula göre yazılır.
Sekiz yıl sonra her iki kişinin yaşı da $8$ artacağından yaşlar toplamı denklemi kurulur.
Denklem çözülür.
Sonuç: $10$
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
“Yaşının $3$ katının $4$ eksiği” ifadesini yanlışlıkla $3x+4$ alırsa $(x+8)+(3x+4+8)=52$ yazılır. Buradan $4x+20=52$ ve $x=8$ bulunur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
$8$ yıl sonra her iki kişinin yaşına $8$ yerine $16$ eklerse $(x+16)+(3x-4+16)=52$ olur. Buradan $4x+28=52$ ve $x=6$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
$8$ yılın iki kişinin yaş toplamını $16$ değil yalnızca $8$ artırdığını kabul ederse $x+(3x-4)+8=52$ yazar. Buradan $4x=48$ ve $x=12$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
$8$ yıl sonraki yaşları kullanmayıp şimdiki yaşların toplamını $52$ alırsa $x+(3x-4)=52$ yazar. Buradan $4x=56$ ve $x=14$ bulunur.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir atölyedeki işi Mert tek başına $10$ günde, Aslı ise tek başına $15$ günde tamamlayabilmektedir. İkisi birlikte çalışmaya başladıktan $3$ gün sonra Mert işten ayrılıyor. Aslı, kalan işi tek başına kaç günde tamamlar?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Toplam işi $1$ kabul edelim. Mert ve Aslı'nın bir günlük iş yapma miktarlarını belirleyelim.
Birlikte bir günde yaptıkları iş miktarını bulalım.
İlk $3$ günde yapılan ve kalan iş miktarını hesaplayalım.
Kalan işin Aslı tarafından tamamlanma süresini bulalım.
Sonuç: 7,5
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İki işçinin birlikte işi bitirme süresi $\frac{1}{\frac{1}{10}+\frac{1}{15}}=6$ gün bulunup, Mert ayrıldıktan sonra çalışma hızı değiştiği göz ardı edilerek $6-3=3$ yapılır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İlk $3$ günde işin $\frac{1}{2}$sinin kaldığı doğru bulunur; ancak Mert ayrıldığı hâlde kalan iş Mert'in hızıyla tamamlanacakmış gibi $\frac{1}{2}\cdot10=5$ hesaplanır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İlk $3$ günde yalnızca Aslı'nın yaptığı iş dikkate alınır: $3\cdot\frac{1}{15}=\frac{1}{5}$. Kalan $\frac{4}{5}$ iş için $\frac{4}{5}\cdot15=12$ gün bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İlk $3$ günlük ortak çalışma tamamen göz ardı edilerek Aslı'nın işi baştan tek başına bitirme süresi olan $15$ gün alınır.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir atölyede bulunan boncukların ilk gün $\%30$'u kullanılıyor. İkinci gün ise ilk günün sonunda kalan boncukların $\%40$'ı kullanılıyor. İkinci günün sonunda $126$ boncuk kaldığına göre, başlangıçta kaç boncuk vardır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Başlangıçtaki boncuk sayısına $x$ diyelim.
İlk gün boncukların $\%30$'u kullanıldığı için kalan miktar başlangıç miktarının $\%70$'idir.
İkinci gün bu kalan boncukların $\%40$'ı kullanılır; dolayısıyla ikinci gün sonunda ilk gün sonundaki miktarın $\%60$'ı kalır.
Kalan boncuk sayısı $126$ olduğundan denklemi çözelim.
Sonuç: 300
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İkinci gün de kullanım yapıldığı koşulunu atlayıp $126$ boncuğu yalnızca ilk gün sonundaki miktar kabul eder. Bu durumda $0{,}70x=126$ yazıp $x=180$ bulur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İlk günkü kullanım ile ikinci gün yüzdesinin kalan boncuklar üzerinden hesaplandığını göz ardı ederek, $126$'yı başlangıçtaki boncukların $\%40$'ı kabul eder. $0{,}40x=126$ denkleminden $x=315$ elde eder.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İkinci günkü $\%40$'ı başlangıç miktarına göre alınmış gibi düşünüp yüzdeleri doğrudan toplar. Toplam kullanımın $\%70$ olduğunu varsayarak kalan için $0{,}30x=126$ yazar ve $x=420$ bulur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İkinci gün kullanılan oranı değil, ikinci gün sonunda kalan oranı $\%40$ sanır. İlk gün sonunda kalan miktarın $\%40$'ını $126$ kabul ederek $0{,}70\cdot0{,}40x=126$ yazar; buradan $x=450$ çıkar.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir satıcı, iki kutu üründen birincisini maliyetinin %20 fazlasına, ikincisini ise maliyetinin %10 eksiğine satmıştır. Bu kutuların satış fiyatları oranı $4:3$ ve aralarındaki fark $126$ TL olduğuna göre, iki kutu ürünün toplam maliyeti kaç TL'dir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Satış fiyatları oranı $4:3$ olduğundan satış fiyatları sırasıyla $4k$ ve $3k$ alınır.
Satış fiyatları arasındaki farktan $k$ bulunur.
İki kutunun satış fiyatları hesaplanır.
Birinci kutu maliyetinin %20 fazlasına satıldığı için maliyeti bulunur.
İkinci kutu maliyetinin %10 eksiğine satıldığı için maliyeti bulunur ve maliyetler toplanır.
Sonuç: 840 TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Birinci kutunun maliyetini doğru biçimde $504/1{,}2=420$ TL bulup ikinci kutuda %10 zararı tersine çevirmek yerine satış fiyatını %10 zamlı kabul ederek $378/1{,}1=\frac{3780}{11}$ TL alırsa toplamı $420+\frac{3780}{11}=\frac{8400}{11}$ TL bulur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Satış fiyatlarını $504$ TL ve $378$ TL bulduktan sonra kâr ve zarar oranlarıyla maliyet fiyatlarına dönmeden bu iki satış fiyatını toplarsa $504+378=882$ TL sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
%20 kârı birinci ürünün satış fiyatını maliyetin %80'i gibi yorumlayıp $504/0{,}8=630$ TL bulur; %10 zararı da ikinci ürünün satış fiyatını maliyetin %110'u sayarak $378/1{,}1=\frac{3780}{11}$ TL alırsa toplam $630+\frac{3780}{11}=\frac{10710}{11}$ TL olur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Birinci üründeki %20 kârı indirim gibi değerlendirip maliyeti $504/0{,}8=630$ TL hesaplar, ikinci ürünün maliyetini doğru olarak $378/0{,}9=420$ TL bulursa toplamı $630+420=1050$ TL elde eder.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Tuz oranları sırasıyla $\%30$ ve $\%50$ olan iki tuzlu su karışımı, miktarları $3:2$ oranında olacak biçimde karıştırılıyor. Elde edilen karışıma yalnızca su eklenerek toplam hacmi $200$ litre ve tuz oranı $\%25$ olan bir karışım hazırlanıyor. Buna göre, su eklenmeden önce karıştırılan iki tuzlu suyun toplam miktarı kaç litredir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
İki tuzlu suyun miktarları $3:2$ oranında olduğundan miktarları sırasıyla $3x$ ve $2x$ litre alınır.
Birinci karışımdaki tuz miktarı hesaplanır.
İkinci karışımdaki tuz miktarı hesaplanır.
Son karışımda bulunan tuz miktarı belirlenir.
Su eklemek tuz miktarını değiştirmediğinden başlangıçtaki ve son karışımdaki tuz miktarları eşitlenir.
Su eklenmeden önceki toplam karışım miktarı bulunur.
Sonuç: $\frac{2500}{19}$
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Karışım oranlarını dikkate almadan $\%30$ ile $\%50$nin aritmetik ortalamasını $\%40$ alırsa, $0{,}40\cdot 5x=50$ denklemini kurar. Buradan $x=25$ ve toplam miktar $5x=125$ litre bulunur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Miktar oranını ters yorumlayıp $3x$ litre karışımı $\%50$, $2x$ litre karışımı $\%30$ kabul ederse, tuz miktarını $0{,}50\cdot3x+0{,}30\cdot2x=2{,}1x$ yazar. $2{,}1x=50$ olduğundan toplam miktarı $5x=\frac{2500}{21}$ litre bulur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
$\%50$lik karışımı yanlışlıkla saf tuz kabul ederse, tuz miktarını $0{,}30\cdot3x+1\cdot2x=2{,}9x$ alır. $2{,}9x=50$ denklemiyle $5x=\frac{2500}{29}$ litre sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İki karışımın tuz yüzdelerini toplayıp elde edilen karışımın tuz oranını $\%80$ sanarsa, $0{,}80\cdot5x=50$ yazar. Buradan $x=\frac{25}{2}$ ve toplam miktar $5x=\frac{125}{2}$ litre çıkar.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Birbirine $180$ km uzaklıktaki P ve R noktalarından iki araç aynı anda birbirine doğru hareket ediyor. P'den çıkan aracın hızı, R'den çıkan aracın hızının $\frac{3}{2}$ katıdır ve hızları arasındaki fark $20$ km/sa'tir. İlk karşılaşmadan sonra P'den çıkan araç R'ye ulaşıp $18$ dakika bekliyor ve P'ye doğru geri dönüyor. R'den çıkan araç ise P'ye ulaştığında beklemeden R'ye doğru geri dönüyor. Araçların ilk ve ikinci karşılaşmaları arasında kaç dakika geçer?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
R'den çıkan aracın hızı $x$ km/sa olsun. P'den çıkan aracın hızı bunun $\frac{3}{2}$ katıdır.
Hız farkı $20$ km/sa olduğundan araçların hızları bulunur.
İlk karşılaşmaya kadar hızların toplamı ile $180$ km'lik yol kapanır.
Bu sürede R'den çıkan araç $72$ km yol almıştır. Dolayısıyla P'den çıkan aracın ilk karşılaşmadan sonra R'ye ulaşması için $72$ km yolu kalmıştır.
P'den çıkan araç bu kalan yolu $72$ dakikada alır ve $18$ dakika bekler. Bu $90$ dakikada diğer araç $60$ km daha ilerler; P'ye kalan uzaklığı $48$ km olur.
R'den çıkan araç, P'ye kalan $48$ km'yi $72$ dakikada alır. Bu sırada diğer araç geri dönüşte $72$ km ilerler ve P'ye uzaklığı $108$ km olur.
R'den çıkan araç P'den geri döndüğünde araçlar birbirine doğru hareket eder. $108$ km'lik uzaklık, $100$ km/sa bağıl hızla $64{,}8$ dakikada kapanır.
İlk karşılaşmadan ikinci karşılaşmaya kadar geçen süre, dört evrenin toplamıdır.
Sonuç: 226,8 dakika
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
P'den çıkan araç geri döner dönmez diğer aracın da yön değiştirdiği varsayılır. Bu anda araçlar arasındaki uzaklık $132$ km kabul edilip karşılaşma süresi $132/(60+40)=79{,}2$ dakika bulunur. Böylece $72+18+79{,}2=169{,}2$ dakika elde edilir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
R'den çıkan aracın P'ye varma anı ikinci karşılaşma anı sanılır. İlk karşılaşmadan sonra P'den çıkan aracın R'ye ulaşma süresi $72$ dakika, bekleme süresi $18$ dakika ve diğer aracın P'ye kalan yolunu alma süresi $72$ dakika alınarak $72+18+72=162$ dakika bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Diğer araç P'ye ulaştıktan sonraki $108$ km'lik uzaklık için bağıl hız yerine yalnızca geri dönen aracın hızı kullanılır. Son süre $108/60=108$ dakika alınır; sonuç $72+18+72+108=270$ dakika olur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İki karşılaşma arasındaki tüm evreler yerine yalnızca iki aracın P'den sonra birbirine yaklaştığı son evre hesaplanır. Bu evrede $108$ km uzaklık, $100$ km/sa bağıl hızla $108/100$ saat, yani $64{,}8$ dakikada kapanır.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir yarışma grubundaki üç takımın başlangıçtaki öğrenci sayıları sırasıyla $2$, $3$ ve $6$ ile ters orantılıdır. Çalışma sırasında, başlangıçta en kalabalık takımdan $4$ öğrenci başlangıçta en az öğrencili takıma geçmiştir. Bu değişimden sonra başlangıçta en kalabalık olan takımdaki öğrenci sayısı, başlangıçta en az öğrencili olan takımdaki öğrenci sayısının iki katından $2$ fazladır. Buna göre, başlangıçta en az öğrencili takımda kaç öğrenci vardır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Öğrenci sayıları $2$, $3$ ve $6$ ile ters orantılı olduğundan sayılar sırasıyla bu sayıların tersleriyle orantılıdır.
Paydaları yok etmek için $k=12x$ seçilirse takımlardaki öğrenci sayıları elde edilir.
Buna göre başlangıçta en kalabalık takımda $6x$, en az öğrencili takımda $2x$ öğrenci vardır.
Dört öğrenci en kalabalık takımdan en az öğrencili takıma geçtiğinde bu iki takımın sayıları yazılır.
Değişimden sonraki en kalabalık takımın sayısı, diğerinin iki katından $2$ fazla olduğundan denklem kurulur.
Denklem çözülür.
Başlangıçtaki en az öğrencili takımın sayısı $2x$ olduğundan sonuç bulunur.
Sonuç: 14
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Değişimden sonraki sayılar için $6x-4=2(2x+4)$ yazıp "iki katından $2$ fazladır" koşulundaki $+2$yi atlarsa $x=6$ bulunur. Başlangıçtaki en az öğrenci sayısı $2x=12$ olur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
"İki katından $2$ fazladır" ifadesindeki $2$yi yanlışlıkla iki katın içine alıp $6x-4=2(2x+4+2)$ denklemini kurarsa $x=8$ bulunur. Böylece başlangıçtaki en az öğrenci sayısını $2x=16$ hesaplar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Doğru biçimde $x=7$ bulduktan sonra sorunun başlangıçtaki sayıyı istediğini gözden kaçırıp öğrenci geçişinden sonraki en az takımın sayısını alırsa $2x+4=14+4=18$ sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Ters orantıda büyük katsayıya karşılık gelen takımın daha az öğrencili olduğunu dikkate almayıp, $x=7$ için ortadaki takımın başlangıçtaki sayısını en az takımın sayısı sanarsa $4x=28$ sonucuna ulaşır.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir duvarı aynı hızla çalışan $4$ işçi $15$ günde boyamaktadır. İşçilerin çalışma hızları değişmediğine göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır; işçi-gün çarpımı sabittir.
Sonuç: Aynı duvar, $6$ işçi tarafından $10$ günde boyanır.
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
İşçi sayısı ile süreyi doğru orantılı kabul edip $15\cdot\frac{6}{4}=22{,}5$ hesaplayan öğrenci bu sonuca ulaşır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
İşçi sayısındaki artışı süreye doğrudan çıkarma işlemiyle uygulayıp $15-6=9$ yapan öğrenci bu ifadeye ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İşçi sayısını doğrudan işin bitme süresi olarak yorumlayan öğrenci, $6$ işçi için süreyi de $6$ gün kabul eder.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İşçi sayısı ile işin bitirilme süresinin ters orantılı olduğunu göz ardı eden öğrenci bu ifadeyi doğru kabul eder.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir sınıfta kız öğrenci sayısının $3$ fazlası, erkek öğrenci sayısının yarısına eşittir. Sınıftaki toplam öğrenci sayısı $42$ olduğuna göre erkek ve kız öğrenci sayıları arasındaki fark kaçtır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Kız öğrenci sayısına $x$ denirse erkek öğrenci sayısı, verilen koşuldan $2(x+3)$ olur.
Denklem çözülür ve iki öğrenci sayısı arasındaki fark hesaplanır.
Sonuç: 18
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
$x+3$ ifadesindeki $3$ü ikiyle çarpmayıp erkek öğrenci sayısını yanlışlıkla $2x+3$ alır. $x+(2x+3)=42$ den $x=13$, erkek sayısı $29$ ve fark $16$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Kız öğrenci sayısının $3$ fazlası koşulunu atlayıp erkek öğrenci sayısını $2x$ kabul eder. $x+2x=42$ den sayılar $14$ ve $28$ olur; fark $14$ bulunur.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Doğru olarak kız öğrenci sayısını $12$ bulur; ancak istenen farkı hesaplamadan bu değeri cevap kabul eder.
Belirli bir hataya dayanmayan, dikkatli bir öğrencinin kolayca eleyeceği seçenek.
Toplam öğrenci sayısını kullanmadan, ifadede geçen $2$ ve $3$ sayılarını doğrudan çarpıp farkı $2\cdot3=6$ kabul eder.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Zeynep, defterindeki sayfaların $\frac{3}{8}$'ini kullanmıştır. Defterde kullanılmamış $30$ sayfa kaldığına göre defter başlangıçta kaç sayfadır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Kullanılan sayfalar defterin $\frac{3}{8}$'i olduğundan kullanılmayan sayfalar defterin $\frac{5}{8}$'idir.
Defterin toplam sayfa sayısı $x$ olsun. Kullanılmayan sayfa sayısı $30$ olduğuna göre denklem çözülür.
Sonuç: 48
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Kullanılmayan kısmı doğru olarak $\frac{5}{8}$ almak yerine paydaları da toplayarak $\frac{8-3}{8+3}=\frac{5}{11}$ kabul eder. Bu durumda $\frac{5}{11}x=30$ yazıp $x=66$ bulur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Kullanılmayan kısmı hatalı biçimde $\frac{5}{12}$ kabul eder. $\frac{5}{12}x=30$ denklemiyle $x=72$ sonucuna ulaşır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Verilen $30$ sayfanın kullanılmayan sayfa olduğunu göz ardı ederek, kullanılan kısmın $\frac{3}{8}$'ine eşit olduğunu varsayar. $\frac{3}{8}x=30$ den $x=80$ bulur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
$\frac{5}{8}x=30$ denkleminde her iki tarafı $5$e bölmeyi atlayıp yalnızca $8$ ile çarpar; $x=30\cdot 8=240$ sonucunu elde eder.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir babanın şimdiki yaşı, küçük çocuğunun yaşının $6$ katı ve büyük çocuğunun yaşının $3$ katıdır. Babanın şimdiki yaşı, iki çocuğunun şimdiki yaşları toplamından $18$ fazladır. Buna göre büyük çocuk ile küçük çocuk arasındaki yaş farkı kaçtır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Küçük çocuğun şimdiki yaşı $x$ olsun. Babanın yaşı $6x$ olur. Babanın yaşı büyük çocuğun yaşının $3$ katı olduğundan büyük çocuğun yaşı $2x$tir.
Babanın yaşı, çocukların yaşları toplamından $18$ fazla olduğundan denklem kurulur ve çözülür.
Yaş farkı büyük çocuğun yaşı ile küçük çocuğun yaşı arasındaki farktır.
Sonuç: 6
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Büyük çocuğun yaşını $2x$ bulduktan sonra çocukların yaşları toplamındaki küçük çocuğun $x$ yaşını denkleme katmayıp $6x=2x+18$ yazarsa $x=4$ bulur ve yaş farkını $4$ hesaplar.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Babanın yaşının çocukların yaşları toplamından fazla olduğu koşulunu kullanmayıp, $6x=18$ yazar. Buradan $x=3$ bulur; büyük çocuğun yaşı $2x$ olduğundan yaş farkını $2x-x=3$ hesaplar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Babanın yaşının büyük çocuğun yaşının $3$ katı, küçük çocuğun yaşının $6$ katı olmasından büyük çocuğun yaşını küçük çocuğun yaşının $6-3=3$ katı sanır. Küçük çocuğun yaşını da yanlışlıkla $1$ birim kabul ederek farkı $3-1=2$ bulur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Doğru olarak küçük çocuğun yaşını $6$, büyük çocuğun yaşını $12$ bulduktan sonra yaş farkı yerine büyük çocuğun yaşının küçük çocuğun yaşına oranını dikkate alıp $12-3=9$ işlemini yapar.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir mobilya atölyesindeki bir işi Zeynep tek başına $10$ günde, Kerem ise tek başına $15$ günde tamamlayabilmektedir. Zeynep işe başladıktan $2$ gün sonra Kerem de çalışmaya başlıyor ve ikisi iş bitinceye kadar birlikte çalışıyor. İş, Zeynep'in çalışmaya başladığı andan itibaren kaç gün sonra tamamlanır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Zeynep bir günde işin onda birini, Kerem ise on beşte birini yapar.
Zeynep, Kerem başlamadan önce $2$ gün tek başına çalıştığından işin bu kadarını tamamlar.
Birlikte çalışma hızları ve kalan iş miktarı hesaplanır.
Kalan işin ortak çalışma süresi bulunur ve başlangıçtaki $2$ gün eklenir.
Sonuç: $6{,}8$ gün
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Zeynep'in tek başına çalıştığı ilk $2$ günü hesaba katmadan, ortak çalışma süresini $\frac{4/5}{1/10+1/15}=4{,}8$ gün bulup bu değeri toplam süre sanır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Kerem'in $2$ gün sonra başladığı koşulunu atlayıp ikisinin baştan itibaren birlikte çalıştığını kabul eder. Birlikte çalışma hızını $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$ iş/gün bulur ve süreyi $6$ gün alır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Zeynep'in $2$ günde yaptığı işi yanlışlıkla $\frac{2}{5}$ kabul eder. Kalan işi $\frac{3}{5}$ alıp ortak çalışma süresini $\frac{3/5}{1/6}=3{,}6$ gün bulur; buna ilk $2$ günü ekleyerek $5{,}6$ gün sonucuna ulaşır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Birlikte çalışma hızını yanlışlıkla $\frac{1}{10+15}=\frac{1}{25}$ iş/gün alır. İlk $2$ günden sonra kalan $\frac{4}{5}$ iş için $\frac{4}{5}\cdot25=20$ gün gerektiğini düşünüp toplam süreyi $20+2=22$ gün bulur.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir okul kulübünün başlangıçta eşit olan kitap ve spor etkinliği bütçelerinden kitap bütçesi önce $\%30$ azaltılıp ardından kalan tutar üzerinden $\%20$ artırılıyor. Spor etkinliği bütçesi ise önce $\%10$ artırılıp ardından oluşan tutar üzerinden $\%10$ azaltılıyor. Son durumda kitap bütçesi, spor etkinliği bütçesinden yüzde kaç daha azdır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Başlangıçta iki bütçe eşit olduğundan her birine $x$ TL denir.
Kitap bütçesindeki ardışık değişimler uygulanır.
Spor etkinliği bütçesindeki ardışık değişimler uygulanır.
Fark, spor etkinliği bütçesine oranlanarak istenen yüzde bulunur.
Sonuç: $\frac{500}{33}\%$
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Ardışık değişimleri toplamsal kabul edip kitap bütçesini $\%10$ azalmış, spor bütçesini ise değişmemiş sayarsa farkı $\%10$ bulur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Son bütçeleri doğru biçimde sırasıyla $0{,}84x$ ve $0{,}99x$ bulup aradaki $0{,}15x$ farkı spor bütçesi yerine başlangıç bütçesi $x$ üzerinden yüzdelendirirse $\%15$ elde eder.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Spor bütçesindeki $\%10$ artış ile $\%10$ azalışın birbirini götürdüğünü varsayarak spor bütçesini $x$ alır; kitap bütçesi $0{,}84x$ olduğundan farkı $\%16$ hesaplar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Son tutarları doğru bulmasına rağmen farkı spor bütçesine değil kitap bütçesine oranlarsa $\frac{0{,}15x}{0{,}84x}\cdot100=\frac{125}{7}\%$ sonucuna ulaşır.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir satıcı, tanesini $40$ TL’ye aldığı ürünlerin bir kısmını %25 kârla, kalanını %10 zararla satmıştır. Kârla sattığı ürün sayısının zararla sattığı ürün sayısına oranı $\frac{2}{3}$ ve bu iki sayı arasındaki fark $6$ olduğuna göre satıcının bu satıştan elde ettiği net kâr kaç TL’dir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Kârla ve zararla satılan ürün sayıları oranı $2:3$ olduğundan bu sayılar sırasıyla $2x$ ve $3x$ alınır.
Ürün sayıları arasındaki fark $6$ olduğundan $x$ bulunur.
Buna göre $12$ ürün kârla, $18$ ürün zararla satılmıştır. Bir ürünün kârı $10$ TL, zararı $4$ TL’dir.
Toplam kârdan toplam zarar çıkarılır.
Satıcının net kârı hesaplanmıştır.
Sonuç: 48 TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Kârlı satıştaki %25’i maliyet yerine satış fiyatı üzerinden alırsa, birim kârı $50\cdot\frac{25}{100}=12{,}5$ TL bulur. Böylece $12\cdot12{,}5-18\cdot4=78$ TL sonucuna ulaşır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Zararla satılan ürünleri hesaba katmazsa yalnızca kârlı satılan $12$ ürünün kârını hesaplar: $12\cdot(40\cdot\frac{25}{100})=120$ TL.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
$2:3$ oranındaki ürün gruplarını ters yorumlayıp $18$ ürünü kârla, $12$ ürünü zararla sattığını kabul ederse $18\cdot10-12\cdot4=132$ TL bulur.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Zararı kâra eklerse $12\cdot10+18\cdot4=192$ TL sonucunu elde eder.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir laboratuvar çalışanı, tuz oranları sırasıyla $\%50$ ve $\%20$ olan iki tuzlu su karışımını, miktarları $2:3$ oranında olacak biçimde karıştırıyor. Daha sonra bu karışıma su ekleyerek toplam hacmi $180$ litre ve tuz oranı $\%24$ olan bir karışım elde ediyor. Buna göre, başlangıçta kullanılan $\%20$ tuzlu su karışımı kaç litredir?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Karışımların miktarları $2:3$ oranında olduğundan ortak oran katsayısı kullanılır.
Su eklenmeden önceki tuz miktarı, iki karışımdaki tuz miktarlarının toplamıdır.
Eklenen su tuz içermediği için toplam tuz miktarını değiştirmez.
Son karışımın tuz miktarı, toplam hacminin $\%24$'üdür.
Tuz miktarları eşitlenerek oran katsayısı bulunur.
İstenen $\%20$lik karışım, üç oran parçasından oluşur.
Sonuç: $81$ litre
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Son karışımdaki $\%24$ oranını tuz oranı yerine su oranı kabul eder. Başlangıç karışımını toplamın $\%76$'sı sayarak $180\cdot0{,}76=136{,}8$ litre bulur. Bunun $\frac{3}{5}$'i için $136{,}8\cdot\frac{3}{5}=82{,}08$ litre sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Tuz oranının $\%32$'den $\%24$'e düşmesini, tuz miktarının $\%24$ azalması şeklinde yorumlar. Son tuz miktarı $180\cdot0{,}24=43{,}2$ olduğundan başlangıç tuz miktarını $43{,}2/0{,}76=\frac{1080}{19}$ alır. $1{,}6x=\frac{1080}{19}$ ile $x=\frac{675}{19}$ ve $\%20$lik karışım miktarını $3x=\frac{2025}{19}$ litre bulur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Başlangıç karışımının tuz oranını doğru biçimde $\%32$ bulur; ancak $\%32-\%24=\%8$ farkını $8$ litre su eklenmiş gibi yorumlar. Başlangıç toplamını $180-8=172$ litre alır ve bunun $\frac{3}{5}$'ini $172\cdot\frac{3}{5}=103{,}2$ litre hesaplar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Karışım oranını hesaplarken $\%50$lik karışımın etkisini göz ardı edip başlangıçtaki karışımın tamamını $\%20$ tuzlu kabul eder. $0{,}20M=180\cdot0{,}24=43{,}2$ den $M=216$ litre bulur. Bunun $\frac{3}{5}$'i $216\cdot\frac{3}{5}=129{,}6$ litredir.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir araç, iki nokta arasındaki yolu gidişte ilk $2$ saat sabit $v$ km/sa hızla, kalan kısmında ise hızını başlangıç hızının $\frac{3}{2}$ katına çıkararak alıyor. Bu yolun uzunluğu, aracın başlangıç hızıyla ilk bir saatte aldığı yolun $5$ katıdır. Araç dönüşte sabit $v+15$ km/sa hızla hareket ediyor ve dönüş süresi gidiş süresinden $1$ saat daha kısa sürüyor. Buna göre iki nokta arasındaki yol kaç kilometredir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Başlangıç hızına $v$ km/sa diyelim.
İlk bir saatte $v$ km yol alındığından yolun tamamı bunun beş katıdır.
Araç ilk iki saatte $2v$ km yol alır; gidişte kalan yol bulunur.
Kalan kısımda hız $\frac{3v}{2}$ km/sa olduğundan bu kısmın süresi hesaplanır.
Gidiş süresi ilk iki saat ile kalan kısmın süresinin toplamıdır.
Dönüş süresi gidiş süresinden bir saat kısadır.
Dönüşte alınan yol, dönüş hızı ile dönüş süresinin çarpımına eşitlenir ve $v$ bulunur.
Yol uzunluğu hesaplanır.
Sonuç: $112{,}5$
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Hızın "$\frac{3}{2}$ katına çıkması" ifadesini yanlışlıkla $v+\frac{v}{3}=\frac{4v}{3}$ olarak alırsa kalan yolun süresi $\frac{3v}{4v/3}=\frac{9}{4}$ saat olur. Gidiş $\frac{17}{4}$, dönüş $\frac{13}{4}$ saat alınır. $5v=\frac{13}{4}(v+15)$ den $v=\frac{195}{7}$ ve yol $5v=\frac{975}{7}$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
İlk $2$ saatte alınan yolu yanlışlıkla yalnızca $v$ kabul ederse kalan yolu $5v-v=4v$ bulur. Bu kısmın süresini $\frac{4v}{3v/2}=\frac{8}{3}$ saat hesaplar. Gidiş $\frac{14}{3}$, dönüş $\frac{11}{3}$ saat olur. $5v=\frac{11}{3}(v+15)$ den $v=\frac{165}{4}$, yol da $\frac{825}{4}$ çıkar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Yolun, ilk bir saatteki yolun $5$ katı olduğu koşulunu yanlışlıkla ilk $2$ saatteki yolun $5$ katı olarak alırsa yolu $10v$ kabul eder. Bu durumda kalan yol $8v$, bu kısmın süresi $\frac{16}{3}$ saat; gidiş süresi $\frac{22}{3}$ ve dönüş süresi $\frac{19}{3}$ saat olur. $10v=\frac{19}{3}(v+15)$ den algıladığı yol uzunluğu $\frac{2850}{11}$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Gidişteki hız artışını dikkate almayıp yolun tamamını $v$ km/sa hızla alınmış sayarsa gidiş süresini $5$ saat, dönüş süresini $4$ saat kabul eder. $5v=4(v+15)$ den $v=60$ ve yol $5v=300$ elde edilir.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir koleksiyondaki mavi pul sayısının kırmızı pul sayısına oranı $\frac{3}{2}$'dir. Yeşil pul sayısı ise kırmızı pul sayısından $4$ eksiktir. Koleksiyondaki toplam pul sayısı $5$ ile tam bölünmekte, $7$ ile bölündüğünde $3$ kalanını vermekte ve $50$'den fazla olmaktadır. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
Kırmızı ve mavi pul sayılarının oranı $2:3$ olduğundan ortak birim seçilir.
Yeşil pul sayısı, kırmızı pul sayısından $4$ eksiktir.
Toplam pul sayısı yazılır.
Toplam pul sayısının $5$ ile tam bölünmesi kullanılır.
Bu eşitliği sağlayan $x$ değerleri belirlenir.
Kırmızı pul sayısı bu biçimde yazılır. Ayrıca $T=35t+10$ olduğundan verilen $7$ ile bölümden kalan koşulu da sağlanır.
Buna göre kırmızı pul sayısının $10$ ile bölümünden kalan belirlenir.
Sonuç: Kırmızı pul sayısı $10$ ile bölündüğünde kalan $4$'tür.
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Kırmızı pul sayısını $2x$ yerine doğrudan $x$ kabul eden öğrenci, toplamın $5$ ile bölünmesinden $x=5t+2$ sonucuna ulaşır ve $x$'in $10$ ile bölümünden kalanın $2$ olduğunu düşünür.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Toplam pul sayısını $7x-4$ yerine $7x+4$ yazan öğrenci, $7x+4$'ün $5$ ile bölünmesinden $x=5t+3$ bulur. Kırmızı pul sayısını $2x$ alırsa $2x=10t+6$ elde eder.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Kırmızı pul sayısı $10t+4$ bulunduktan sonra yeşil pul sayısının kırmızı pul sayısından $4$ eksik olduğu koşulunu uygulamayan öğrenci, yeşil pul sayısının da $10$ ile bölümünden kalanın $4$ olduğunu sanır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Yeşil pul sayısındaki $4$ eksilmeyi toplamda hesaba katmayıp toplamı $2x+3x+2x=7x$ alan öğrenci, $x=5t+2$ için toplamı $35t+14$ bulur ve bu ifadeye ulaşır.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
1 soru üretildi, 1 tanesi henüz denetlenmedi. Aynı sorular, farklı bir yapay zekâ ile üretildi.
Bir sayının 4 eksiğinin 3 katı 63 olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Aranan sayıya $x$ denir. Sayının 4 eksiğinin 3 katı 63 olduğundan denklem kurulur.
Denklem çözülür.
Sonuç: 25
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, sayının 4 eksiğinin alınması koşulunu atlayıp $3x=63$ yazar. Buradan $x=21$ sonucuna ulaşır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, $3(x-4)=63$ yerine $3x=63-4$ denklemini kurar. Buradan $x=\frac{59}{3}$ bulur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, 3 ve 4'ü aynı tarafta toplayarak $x(3+4)=63$ biçiminde yanlış bir denklem kurar. Buradan $x=9$ elde eder.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, üç katı alınması işlemini göz ardı edip $4x=63$ yazar. Buradan $x=\frac{63}{4}$ sonucuna ulaşır.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
3 soru üretildi, 3 tanesi henüz denetlenmedi. Bu üretim yarıda kesildi; yalnızca ilk sorular tamamlandı.
İki kardeş, ellerindeki 90 adet elmayı yaşlarının oranı olan $2:3$ ile doğru orantılı olacak şekilde paylaşmaktadır. Büyük kardeşin payı, küçük kardeşin payından kaç fazladır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Paylar $2x$ ve $3x$ olarak yazılır; toplamları 90'a eşitlenir ve iki pay arasındaki fark, oran farkının ($3-2=1$) birim değeri kadar olduğundan doğrudan hesaplanır.
Sonuç: 18
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci birim değeri doğru bulur ($90/5=18$) ancak farkı hesaplarken bu değeri yanlışlıkla ikiye bölerek $18/2=9$ sonucuna ulaşır.
Belirli bir hataya dayanmayan, dikkatli bir öğrencinin kolayca eleyeceği seçenek.
Öğrenci oran toplamını yanlış kurarak (örneğin $2\times3+3=9$) toplamı 9 parçaya böler ve $90/9=10$ değerini fark olarak yazar.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci birim değeri bulup ($x=18$) küçük kardeşin payını hesaplar ($2\times18=36$) ancak işlemi burada bırakıp bu payı doğrudan 'fark' olarak yazar.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci birim değeri bulup ($x=18$) büyük kardeşin payını hesaplar ($3\times18=54$) ancak işlemi burada bırakıp bu payı doğrudan 'fark' olarak yazar.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir sayının 5 katının 12 eksiği 78 olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Bilinmeyen sayıya x diyelim. 'Bir sayının 5 katının 12 eksiği 78'dir' ifadesi denkleme çevrilir.
Her iki tarafa 12 eklenerek x'li terim yalnız bırakılır.
Her iki taraf 5'e bölünerek x bulunur.
Sonuç: 18
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci '12 eksiği' ifadesini '12 fazlası' gibi yorumlayarak denklemi $5x+12=78$ şeklinde kurar. Buradan $5x=66$ ve $x=13,2$ bulur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci '12 eksiği' kısmını gözden kaçırarak denklemi sadece $5x=78$ olarak kurar ve $x=78/5=15,6$ bulur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci denklemi doğru kurup $5x=90$ elde eder fakat bölme işleminde hata yaparak $90/5$ değerini $16$ olarak hesaplar.
Belirli bir hataya dayanmayan, dikkatli bir öğrencinin kolayca eleyeceği seçenek.
Öğrenci sayıları anlamlı bir denklem kurmadan rastgele işleme sokarak $78/(5+12)=78/17\approx4,6$ değerini en yakın tam sayıya yuvarlayıp 5 bulur.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir depoda bulunan 320 litre suyun $\frac{3}{8}$'i birinci gün, kalanının $\frac{2}{5}$'i ise ikinci gün kullanılıyor. Buna göre, birinci gün kullanılan su, ikinci gün kullanılan sudan kaç litre fazladır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Birinci gün kullanılan su miktarı, toplam suyun $\frac{3}{8}$'i olarak hesaplanır.
Birinci günden sonra kalan su bulunur ve ikinci gün kullanılan miktar bu kalanın $\frac{2}{5}$'i olarak hesaplanır.
Birinci gün ile ikinci gün kullanılan su miktarları arasındaki fark bulunur.
Sonuç: 40 litre
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, ikinci gün kullanılan suyun 'kalan' miktarın değil toplam suyun $\frac{2}{5}$'i olduğunu düşünür: $\frac{2}{5}\times320=128$ litre. Birinci gün kullanılan doğru şekilde $120$ litre bulunduğundan fark $|120-128|=8$ litre hesaplanır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci birinci günün kesrini $\frac{3}{8}$ yerine $\frac{2}{8}$ olarak okur: $\frac{2}{8}\times320=80$ litre. Kalan $320-80=240$ litre olur, ikinci gün kullanılan $\frac{2}{5}\times240=96$ litre bulunur. Fark $|80-96|=16$ litre çıkar.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci birinci gün ($120$ litre) ve ikinci gün ($80$ litre) kullanılan miktarları doğru bulur, ancak çıkarma işleminde hata yaparak $120-80$ farkını yanlışlıkla $30$ olarak hesaplar.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci ikinci gün kullanılan miktarın da kalan suyun $\frac{3}{8}$'i olduğunu (birinci günle aynı kesri) düşünerek $\frac{3}{8}\times200=75$ litre bulur. Birinci gün $120$ litre olduğundan fark $|120-75|=45$ litre hesaplanır.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
29 soru üretildi, 26 tanesi soru bankasına girdi, 3 tanesi elendi.
Bir kırtasiyede kalemler adet başına aynı fiyattan satılmaktadır. Ahmet 8 kalem alarak 40 TL öderken, aynı kırtasiyeden Mehmet 24 kalem almıştır. Mehmet'in ödediği tutar, Ahmet'in ödediği tutarın kaç katıdır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Kalem sayısı ile ödenen tutar doğru orantılı büyüklüklerdir; bu nedenle tutarlar oranı, kalem sayıları oranına eşittir.
Sonuç: 3
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Kalem sayısı ile ödenen tutarın ters orantılı olduğunu düşünen öğrenci, Ahmet'in kalem sayısını Mehmet'inkine bölerek 8/24=1/3 bulur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Mehmet'in kalem sayısının Ahmet'inkinden kaç fazla olduğunu bulup (24-8=16) bu farkı Ahmet'in kalem sayısına bölen öğrenci 16/8=2 sonucunu 'kat' sanır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
İki kişinin kalem sayılarını toplayarak (8+24=32) bu değeri doğrudan 'kaç kat' cevabı olarak veren öğrenci, oran kavramını toplama ile karıştırır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Ahmet'in birim kalem fiyatını (40/8=5 TL) bulup Mehmet'in ödediği toplam tutarı (24×5=120 TL) hesaplayan fakat bu tutarın Ahmet'inkine oranını almayı unutan öğrenci, doğrudan 120'yi cevap olarak yazar.
Kolay soru13 üzerinden 6
Konuyu bilen öğrencinin birkaç adımda çözmesi beklenir.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir sayının 4 katından 3 çıkarılıp elde edilen fark 3'e bölündüğünde sonuç 7 oluyor. Buna göre bu sayı kaçtır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Sayıyı x ile gösterip verilen ifadeyi denklem olarak yaz.
Denklemin her iki tarafını 3 ile çarparak paydadan kurtul.
Denklemi çözerek x'i bul.
Sonuç: 6
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci denklemi kurarken 3'e bölme işlemini unutup doğrudan 4x-3=7 eşitliğini çözer: 4x=10, x=2.5.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci '3 çıkarılıp' ifadesini '3 eklenip' şeklinde yanlış yorumlayıp (4x+3)/3=7 denklemini kurar: 4x+3=21, 4x=18, x=4.5.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 3'e bölme işlemini yanlış dağıtarak sadece çıkarılan 3'ü böler: 4x - 3/3 = 7 → 4x - 1 = 7 → 4x=8 → x=2.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'bir sayının 4 katından 3 çıkarılıp' ifadesindeki çıkarma adımını gözden kaçırarak doğrudan 4 katının 3'e bölümünün 7 olduğunu varsayar: $\frac{4x}{3}=7 \Rightarrow 4x=21 \Rightarrow x=5.25$.
Kolay soru13 üzerinden 6
Konuyu bilen öğrencinin birkaç adımda çözmesi beklenir.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir sınıftaki öğrencilerin $\frac{3}{8}$'i kızdır. Sınıf mevcudu 40 kişi olduğuna göre, erkek öğrenci sayısı ile kız öğrenci sayısı arasındaki fark kaçtır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Kız öğrenci sayısı, toplam öğrenci sayısının $\frac{3}{8}$'i alınarak bulunur.
Erkek öğrenci sayısı, toplam öğrenci sayısından kız öğrenci sayısı çıkarılarak bulunur.
Erkek ve kız öğrenci sayıları arasındaki fark hesaplanır.
Sonuç: 10
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Erkek öğrenci sayısını bulmak için yapılan 40-15 çıkarma işlemini hatalı yaparak erkek sayısını 35 bulan öğrenci, farkı 35-15=20 olarak hesaplar.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Kız oranını $\frac{3}{8}$ yerine yanlışlıkla $\frac{3}{5}$ olarak okuyan öğrenci, kız sayısını 24, erkek sayısını 16 bulur ve farkı 24-16=8 olarak hesaplar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Erkeklerin oranının $\frac{5}{8}$ olduğunu unutup yanlışlıkla $\frac{1}{2}$ olarak alan öğrenci, farkı $(\frac{1}{2}-\frac{3}{8})\times 40=5$ olarak hesaplar.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci kız oranının payını (3) doğrudan fark olarak yazar; kız ve erkek öğrenci sayılarını hesaplamadan işlemi yarım bırakarak cevabı 3 olarak verir.
Kolay soru13 üzerinden 6
Konuyu bilen öğrencinin birkaç adımda çözmesi beklenir.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Ali ile babasının yaşları toplamı 60'tır. Babasının yaşı, Ali'nin yaşının 3 katına eşittir. Buna göre, Ali ile babası arasındaki yaş farkı hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
Ali'nin yaşı x, babasının yaşı Ali'nin 3 katı olduğundan 3x olarak tanımlanır ve toplamları 60'a eşitlenir.
Denklem çözülerek Ali'nin ve babasının bugünkü yaşları bulunur.
Baba ile Ali arasındaki yaş farkı hesaplanır.
Sonuç: Yaş farkı 30'dur.
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, toplam denklemini kurarken Ali'nin kendi yaşını toplama eklemeyi unutup yalnızca 3x=60 yazmıştır. Buradan x=20'yi Ali'nin yaşı, 3x=60'ı da babanın yaşı kabul ederek farkı 60-20=40 olarak hesaplamıştır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Doğru denklemi (4x=60) kurmasına rağmen bölme işleminde hata yaparak x'i 16 bulmuş, babanın yaşını 3(16)=48, farkı da 48-16=32 olarak hesaplamıştır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Denklemi doğru kurup x=15 bulmasına rağmen, 'baba Ali'nin 3 katı yaşında' ifadesinden yaş farkının doğrudan Ali'nin yaşına (x'e) eşit olduğunu düşünerek farkı 15 olarak hesaplamıştır; oysa fark 3x-x=2x=30'dur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
'3 katı' ifadesini '2 katı' şeklinde yanlış okuyarak x+2x=60 denklemini kurmuş, buradan x=20, babanın yaşını 40 ve farkı 40-20=20 olarak bulmuştur.
Orta soru13 üzerinden 7
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir mobilya atölyesinde çalışan usta, bir dolabı tek başına 6 günde; yanındaki çırak ise aynı dolabı tek başına 12 günde tamamlayabilmektedir. Usta, dolabın yapımına tek başına başlayıp 3 gün çalıştıktan sonra çırak da işe katılıyor ve geriye kalan işi ikisi birlikte tamamlıyor. Buna göre dolabın yapımı, usta işe başladığı andan itibaren toplam kaç günde tamamlanmış olur?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
İşlerin süresine göre günlük iş hızlarını kolay hesaplamak için toplam işi, 6 ile 12'nin EKOK'u olan 12 birim kabul edelim.
Usta işi 6 günde bitirdiğine göre günde $12/6=2$ birim, çırak ise işi 12 günde bitirdiğine göre günde $12/12=1$ birim iş yapar.
Usta yalnız başına 3 gün çalıştığında yaptığı iş miktarı hesaplanır.
Geriye kalan iş miktarı bulunur ve bu işin ikisi birlikte çalışarak ne kadar sürede biteceği hesaplanır.
Ustanın yalnız çalıştığı ilk 3 gün ile birlikte çalışılan 2 gün toplanarak işin toplam bitiş süresi bulunur.
Sonuç: 5 gün
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, ustanın işe 3 gün yalnız başladığı bilgisini göz ardı edip ikisinin işe en baştan birlikte başladığını varsayar. Toplam iş 12 birim, usta günde 2 birim, çırak günde 1 birim yaptığından birlikte hız 3 birim/gün olur ve süre $12/3=4$ gün bulunur.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci, ustanın 3 günde yaptığı iş (6 birim) düşüldükten sonra kalan 6 birimlik işin birlikte kaç günde biteceğini doğru hesaplar: $6/(2+1)=2$ gün. Ancak ustanın yalnız çalıştığı ilk 3 günü toplam süreye eklemeyi unutup cevabı doğrudan 2 gün olarak verir.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, usta 3 gün çalıştıktan sonra kalan işi (6 birim) çırağın da yardım ettiğini hesaba katmadan yalnızca ustanın bitireceğini varsayar: $6/2=3$ gün bulur. Bu süreyi, ustanın zaten çalıştığı ilk 3 günle toplaması gerektiğini fark etmeden doğrudan sonuç olarak yazar.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, ustanın 3 gün önceden çalıştığını görmezden gelip ikisinin işe aynı anda başladığını varsayarak toplam süreyi ters orantı/birlikte çalışma formülüyle $\frac{6\cdot12}{6+12}=4$ gün bulur. Ardından bu 4 günden ustanın zaten çalıştığı 3 günü, sanki aynı zaman diliminden pay düşülüyormuş gibi çıkararak $4-3=1$ gün sonucuna ulaşır; oysa bu formül yalnızca ikisinin sıfırıncı günden birlikte başlaması durumunda geçerlidir ve elde edilen süreden kalan işi bitirme süresi anlamında geçen süreyi çıkarmak matematiksel olarak anlamsızdır.
Orta soru13 üzerinden 8
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir toptancının deposundaki un miktarının %10'u bir fırına satılıyor. Kalan miktarın %20'si bir pastaneye satılıyor. Geriye kalan miktarın da %25'i bir markete satıldıktan sonra depoda 216 ton un kalmaktadır. Buna göre depodaki başlangıç un miktarı kaç tondur?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Başlangıçtaki un miktarı x ton olsun.
%10'u satıldıktan sonra kalan miktar, x'in %90'ıdır.
Kalan miktarın %20'si satıldığında geriye %80'i kalır; bu adımdan sonraki miktar.
Geriye kalan miktarın %25'i satıldığında %75'i kalır; bu adımdan sonraki miktar 216 tona eşittir.
Denklem çözülerek başlangıç miktarı bulunur.
Sonuç: 400
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, ardışık uygulanan yüzdelik azalışların birbirine eklenebileceğini düşünerek toplam satılan oranı %10+%20+%25=%55 kabul eder. Böylece kalan oran %45 alınır ve $0.45x=216$ denkleminden $x=480$ bulunur. Oysa yüzdeler bileşik (art arda) uygulanmalıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci ilk iki adımı doğru uygular: $0.9x\cdot 0.8=0.72x$. Fakat son adımda 'kalanın %25'i satılıyor' ifadesini 'kalanın %25'i kalıyor' şeklinde yanlış yorumlayarak satılan yerine kalan yüzdeyi 25 alır: $0.72x\cdot 0.25=0.18x=216$ denkleminden $x=1200$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci yalnızca ilk iki satış işlemini (%10 ve %20) dikkate alır, üçüncü satışı (kalanın %25'i) gözden kaçırır. $0.9x\cdot 0.8=0.72x=216$ denkleminden $x=300$ bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci ilk satış işlemini (%10) hesaba katmayı unutup yalnızca ikinci ve üçüncü satışları (%20 ve %25) uygular. $0.8\cdot 0.75\cdot x=0.6x=216$ denkleminden $x=360$ bulunur.
Orta soru13 üzerinden 8
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir tüccar, birim fiyatları birbirine eşit olan A malından 3 birim, B malından 5 birim satın almıştır. A malının birim fiyatı 100 TL olduğuna göre tüccar, bu malların toplam maliyetinin %25 fazlasını etiket fiyatı olarak belirlemiştir. Daha sonra etiket fiyatı üzerinden bir miktar indirim uygulayarak malların tamamını satmış ve bu satıştan net 40 TL kâr elde etmiştir. Buna göre tüccarın uyguladığı indirim oranı yüzde kaçtır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Satın alınan toplam birim sayısı ve toplam maliyet, doğru orantı ilişkisiyle (miktar arttıkça ödenen para da artar) hesaplanır: 3+5=8 birim, birim fiyat 100 TL olduğundan toplam maliyet 8·100 = 800 TL'dir.
Tüccar, toplam maliyetin %25 fazlasını etiket fiyatı olarak belirlemiştir; bu nedenle etiket fiyatı hesaplanır.
Satıştan elde edilen net kâr, maliyet fiyatı üzerinden 40 TL olduğuna göre gerçekleşen satış fiyatı bulunur.
Etiket fiyatı ile gerçekleşen satış fiyatı arasındaki fark, uygulanan indirim tutarını verir.
İndirim oranı, indirim tutarının etiket fiyatına oranıyla (doğru taban etiket fiyatıdır) bulunur.
Sonuç: 16
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, indirim oranını hesaplaması gerekirken kâr oranını hesaplar; yani indirim yüzdesi ile kâr yüzdesini birbirine karıştırır: kâr yüzdesi = (40/800)·100 = %5. Bu değer indirim oranı sanılarak yanlış cevaba ulaşılır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci indirim yüzdesini hesaplarken tabanı yanlış seçer; indirim her zaman etiket fiyatı üzerinden hesaplanması gerekirken maliyet fiyatını (800 TL) taban alır: indirim tutarı 160 TL olduğundan (160/800)·100 = %20 bulunur. Doğru tabanın etiket fiyatı (1000 TL) olması gerektiği gözden kaçırılmıştır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'net kârı 40 TL' ifadesini işlerken işaret hatası yapar ve satış fiyatını maliyetten 40 TL az (800-40=760 TL) olarak alır. Bu durumda indirim tutarı 1000-760=240 TL, indirim yüzdesi (240/1000)·100 = %24 olarak bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci 'indirim oranı' ile 'satış fiyatının etiket fiyatına oranını' karıştırır; indirim yüzdesi yerine fiyatın etikete göre kalan yüzdesini hesaplar: (840/1000)·100 = %84. Bu, indirimin kendisi değil, indirimden sonra kalan fiyatın oranıdır.
Orta soru13 üzerinden 8
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir laboratuvar teknisyeni, yürüttüğü deney için iki ayrı kapta tuzlu su çözeltisi hazırlamıştır. Kap I ve Kap II'deki çözelti miktarları (litre cinsinden) sırasıyla 2 ve 3 sayılarına ters orantılı olup toplamı 100 litredir. Kap I'deki çözelti $\%20$, Kap II'deki çözelti ise $\%50$ oranında tuz içermektedir. Teknisyen bu iki çözeltiyi tek bir kapta birleştirdikten sonra karışımdan bir miktar su buharlaştırıyor. Bu işlemin sonunda elde edilen yeni karışımın tuz oranı $\%40$ olduğuna göre, buharlaştırılan su miktarı kaç litredir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Kap I ve Kap II'deki çözelti hacimleri sırasıyla 2 ve 3 sayılarına ters orantılı olduğundan hacimler oranı bu sayıların çarpmaya göre terslerinin oranına eşittir.
Oranı $3k$ ve $2k$ olarak yazıp toplamın 100 litre olduğu bilgisini kullanarak $k$ değerini ve hacimleri bulalım.
Her kaptaki tuz miktarını, hacim ile tuz oranının çarpımıyla hesaplayalım.
İki çözelti birleştirildiğinde toplam tuz miktarını ve toplam karışım hacmini belirleyelim.
Buharlaşma yalnızca suyu azaltır, tuz miktarı değişmez. Buharlaşan su miktarı $x$ olsun; yeni hacim $100-x$ olur ve bu hacimde tuz oranı $\%40$ olmalıdır.
Denklemi çözerek buharlaşan su miktarını bulalım.
Sonuç: 20 litre
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Ters orantı ilişkisi kurulurken kavram karışıklığı yapılıp Kap I ve Kap II hacimlerinin 2 ve 3 sayılarıyla DOĞRU orantılı olduğu varsayılırsa $V_I:V_{II}=2:3$ olur; bu durumda $V_I=40$ L, $V_{II}=60$ L bulunur. Tuz miktarı $40\cdot0{,}20+60\cdot0{,}50=38$ L olur ve $\frac{38}{100-x}=0{,}40$ denkleminden $x=5$ litre bulunur.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Doğru şekilde toplam tuz miktarı 32 L bulunup $\frac{32}{100-x}=0{,}40$ denklemi kurulduktan sonra $100-x=80$ elde edilir; fakat bu ara sonuçtan buharlaşan su miktarını bulmak için 100'den çıkarma işlemi yapılmayıp 80 doğrudan cevap olarak verilirse bu sonuca ulaşılır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Buharlaşan su miktarının, elde edilen karışımın tuz yüzdesiyle doğrudan orantılı olduğu düşünülüp x'in toplam karışım hacminin hedeflenen yüzdesine ($100\cdot0{,}40=40$) eşit olduğu sanılırsa bu sonuca ulaşılır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
$\frac{32}{100-x}=0{,}40$ denkleminden $100-x=80$ bulunduktan sonra buharlaşan miktarı hesaplarken çıkarma işlemi yerine toplama yapılır ve $x=100+80=180$ sonucuna ulaşılır.
Zor soru13 üzerinden 10
Uzun bir çözüm ya da birkaç konunun bir arada kullanılmasını ister. Bu sorular sınavda ayırt edici olanlardır.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir yolcu otobüsü, X şehrinden Y şehrine değişmeyen bir hızla gitmektedir. Bu otobüs her zamanki hızıyla yola çıktığında Y şehrine tam saat 14.30'da varmaktadır. Bir gün otobüs her zamankinden 10 dakika geç yola çıkmış, hızını da her zamanki hızının $\frac{6}{5}$ katına çıkararak yine tam saat 14.30'da Y şehrine varmıştır. Aynı güzergâhı kullanan bir otomobilin hızı, otobüsün her zamanki hızının 1,5 katıdır ve bu iki taşıtın hızları toplamı saatte 200 km'dir. Buna göre X ile Y şehirleri arasındaki uzaklık kaç km'dir?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Otobüsün her zamanki hızı $v$, normal yolculuk süresi $t$ (dakika) ve X-Y arası mesafe $d=v\cdot t$ olarak tanımlanır.
Hız $\frac{6}{5}v$'ye çıkarıldığında aynı mesafe için geçen süre, hız-zaman ters orantısı gereği $\frac{5}{6}t$ olur.
Otobüs 10 dakika geç kalkmasına rağmen yine aynı saatte vardığından, o günkü yolculuk süresi normal süreden 10 dakika kısadır.
İki ifade eşitlenip $t$ için çözülür.
Otomobilin hızı otobüsün hızının 1,5 katı olup iki hızın toplamı 200 km/saat olduğundan otobüsün hızı bulunur.
Bulunan $v$ ve $t$ değerleriyle X-Y arası mesafe hesaplanır.
Sonuç: 80 km
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, otomobilin hızının otobüsün hızının 1,5 katı olduğu koşulunu dikkate almadan, iki taşıtın hızlarının eşit olduğunu varsayarak toplamı ikiye böler: $2v=200 \Rightarrow v=100$ km/saat bulur. Bu hızı doğru bulunan $t=1$ saat ile çarparak $d=100\times1=100$ km sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci 'otomobilin hızı, otobüsün hızının 1,5 katıdır' ifadesini ters çevirerek otobüsün hızını otomobilin hızının 1,5 katı sanır. Bu durumda otomobil hızı $v/1,5$ olur ve $v+\frac{v}{1,5}=200 \Rightarrow \frac{5}{3}v=200 \Rightarrow v=120$ km/saat bulunur. $t=1$ saat ile çarpılarak $d=120$ km sonucuna ulaşılır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci $t=60$ dakika ve $v=80$ km/saat değerlerini doğru bulur; ancak süreyi saate çevirmeyi unutup 60 dakikayı doğrudan saat birimiymiş gibi kullanarak $d=80\times60=4800$ km sonucuna ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci $v=80$ km/saat ve $t=1$ saat (60 dakika) değerlerini doğru bulur; fakat mesafe formülünü karıştırıp hız ile süreyi çarpmak yerine toplayarak $d=80+60=140$ km sonucuna ulaşır.
Orta soru13 üzerinden 8
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı $\frac{3}{5}$'tir. Bu sınıfa bir miktar yeni erkek öğrenci kaydolduğunda kız öğrenci sayısı değişmemiş, kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı $\frac{3}{7}$ olmuştur. Sınıfın kayıt öncesindeki (başlangıçtaki) öğrenci sayısı 40'tan fazla, 80'den az bir tam sayı olduğuna göre, bu sınıfa en az kaç erkek öğrenci kaydolmuş olabilir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Kız ve erkek öğrenci sayıları arasındaki oran 3:5 olduğundan ortak çarpan $k$ ile kız ve erkek sayıları tanımlanır.
Sınıfın başlangıçtaki toplam öğrenci sayısı $8k$ olup bu değer 40'tan fazla, 80'den az bir tam sayı olmalıdır.
Eşitsizlik 8'e bölünürse $5<k<10$ elde edilir; $k$ bir tam sayı olduğundan alabileceği değerler belirlenir.
Yeni erkek öğrenciler katılınca kız öğrenci sayısı değişmez (yine $3k$), ancak oran $\frac{3}{7}$'ye döner; buradan yeni erkek sayısı bulunur.
Kaydolan erkek öğrenci sayısı, yeni ve eski erkek sayıları arasındaki farka eşittir.
Eklenen erkek öğrenci sayısının en az olması isteniyor; $2k$ ifadesi $k$ ile doğru orantılı olduğundan, $k$ kümesindeki en küçük değer seçilmelidir.
Bu değer yerine konduğunda sınıfa en az kaç erkek öğrenci kaydolduğu bulunur.
Sonuç: 12
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
'40'tan fazla' koşulunu 40'a eşitliği de kapsayacak biçimde yanlış yorumlayıp $8k=40$ olan $k=5$ değerini geçerli kabul eder; bu durumda eklenen erkek sayısını $2\cdot5=10$ bulur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
'en az' ifadesinin, $k\in\{6,7,8,9\}$ kümesindeki en küçük değerin seçilmesini gerektirdiğini fark etmeden, kümeden rastgele/ilk bulduğu $k=7$ değerini kullanarak eklenen erkek sayısını $2\cdot7=14$ olarak hesaplar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Eklenen erkek öğrenci sayısının en az olabilmesi için başlangıçtaki öğrenci sayısının en büyük olması gerektiğini düşünerek (ilişkinin yönünü ters yorumlayarak) $k=9$'u seçer ve $2\cdot9=18$ bulur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Eklenen erkek sayısını hesaplarken oran farkı olan $(7-5)=2$'yi $k$ ile çarptıktan sonra sonucu yanlışlıkla ikiye böler; $k=6$ için $\frac{2\cdot6}{2}=6$ işlemiyle eklenen erkek sayısını 6 bulur.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
$a$ ve $b$ pozitif gerçek sayılar olmak üzere $a$ ile $b$ doğru orantılıdır. $a$ değeri 3 katına çıkarılırsa $b$ için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
a ile b doğru orantılı olduğundan a/b oranı sabittir; a değeri 3 katına çıkarıldığında oranın sabit kalabilmesi için b de aynı oranda, yani 3 katına çıkmalıdır.
Sonuç: b de 3 katına çıkar.
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci doğru orantı tanımını unutup iki büyüklük arasında hiçbir ilişki olmadığını, oranın sabit kalmasının değerlerin de sabit kalması anlamına geldiğini sanır; bu yüzeysel bir kavram karışıklığıdır ve kolayca elenir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci doğru orantı ile ters orantıyı karıştırır; a arttıkça b'nin azalması gerektiğini düşünerek a'nın 3 katına çıkmasını b'nin 3'te birine inmesiyle eşleştirir.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci doğru orantıyı karesel bir ilişki sanarak a 3 katına çıkınca b'nin 3'ün karesi kadar, yani 9 katına çıkacağını hesaplar.
Belirli bir hataya dayanmayan, dikkatli bir öğrencinin kolayca eleyeceği seçenek.
Öğrenci orantı kavramıyla ilgisi olmayan, işaretle ilgili rastgele bir çıkarım yaparak bu sonuca ulaşır; sorunun verileriyle hiçbir mantıksal bağlantısı yoktur.
Kolay soru13 üzerinden 5
Konuyu bilen öğrencinin birkaç adımda çözmesi beklenir.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir sayının 5 katının 8 fazlası, aynı sayının 3 katının 32 fazlasına eşittir. Buna göre bu sayı kaçtır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Sayı x olsun. 'Sayının 5 katının 8 fazlası' ifadesi 5x+8, 'sayının 3 katının 32 fazlası' ifadesi 3x+32 şeklinde yazılır ve bu iki ifade birbirine eşitlenir.
Denklemde x'li terimler bir tarafa, sayısal terimler diğer tarafa toplanır ve denklem çözülür.
Sonuç: 12
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci terimleri öteki tarafa geçirirken işaretleri yanlış değiştirir: 5x+8=3x+32 denkleminden 5x-3x=8-32 yazar. Bu da 2x=-24, dolayısıyla x=-12 sonucunu verir.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'sayının 5 katının 8 fazlası' ifadesini yanlış yorumlayıp 5(x+8) olarak parantezli kurar: 5(x+8)=3x+32 → 5x+40=3x+32 → 2x=-8 → x=-4.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci denklemin iki tarafındaki x terimlerini birbirinden çıkarmak yerine toplar: 5x+8=3x+32 ifadesinden 5x+3x=32-8 yazarak 8x=24 elde eder ve x=3 bulur.
Belirli bir hataya dayanmayan, dikkatli bir öğrencinin kolayca eleyeceği seçenek.
Öğrenci doğru kurduğu 2x=24 denklemine ulaşır ama dikkatsizce bölme işlemini yanlış yaparak sonucu doğru cevabın yarısı olan 6 olarak yazar.
Kolay soru13 üzerinden 6
Konuyu bilen öğrencinin birkaç adımda çözmesi beklenir.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir öğrenci, cebindeki paranın $\frac{2}{5}$'ini bir kitaba harcıyor. Kalan parasının $\frac{1}{3}$'ünü de bir deftere harcadıktan sonra cebinde 240 TL kalıyor. Buna göre öğrencinin başlangıçta cebinde kaç TL parası vardır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Başlangıçtaki para $x$ olsun. İlk harcamadan sonra kalan para, toplamın $\frac{3}{5}$'idir.
Kalan paranın $\frac{1}{3}$'ü deftere harcanınca geriye $\frac{2}{3}$'ü kalır; bu miktar 240 TL'ye eşittir.
Denklem çözülerek başlangıç parası bulunur.
Sonuç: 600 TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci doğru denklemi $\frac{2}{5}x=240$ şeklinde kurar (kesirleri doğru çarpar) ama $x$'i bulurken $240 \cdot \frac{5}{2}$ yerine yanlışlıkla bunu bir daha 2'ye bölerek $x=300$ sonucuna ulaşır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci yalnızca ilk harcamayı dikkate alır, ikinci harcamayı (deftere harcanan kısmı) unutur: $\frac{3}{5}x=240 \Rightarrow x=400$.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci kalan para oranını $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3}$ işlemini yanlış sadeleştirerek $\frac{1}{2}$ bulur ve $\frac{1}{2}x=240 \Rightarrow x=480$ sonucuna ulaşır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci ikinci harcamayı kalan paranın değil, başlangıçtaki paranın $\frac{1}{3}$'ü olarak alır: $x-\frac{2}{5}x-\frac{1}{3}x=240 \Rightarrow \frac{4}{15}x=240 \Rightarrow x=900$.
Orta soru13 üzerinden 8
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
İki kardeşin şu anki yaşları oranı $2:3$'tür. 5 yıl sonra bu iki kardeşin yaşları toplamı 50 olacağına göre, küçük kardeşin şu anki yaşı kaçtır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Kardeşlerin şu anki yaşları oranı $2:3$ olduğundan, küçük kardeşin yaşı $2k$, büyük kardeşin yaşı $3k$ olarak tanımlanır.
5 yıl sonra her iki kardeşin yaşına 5 eklenir ve toplamları 50 olur; bu denklemden $k$ bulunur.
Küçük kardeşin şu anki yaşı $2k$ yerine $k=8$ konularak hesaplanır.
Sonuç: 16
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci oran katsayısını doğru şekilde $k=8$ olarak bulur, ancak küçük kardeşin yaşının $2k$ olduğunu unutup $k$ değerini doğrudan cevap olarak yazar.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Her iki kardeşin yaşına ayrı ayrı 5 eklenmesi gerekirken, toplam denkleme hatalı biçimde 20 eklenmiş ($5k+20=50$), bu da $k=6$ ve küçük kardeşin yaşının $2k=12$ olmasına yol açmıştır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci '5 yıl sonra' koşulunu dikkate almadan doğrudan şu anki yaşlar toplamının 50 olduğunu varsayarak $2k+3k=50$ denklemini kurar, $k=10$ bulur ve küçük kardeşin yaşını $2k=20$ olarak hesaplar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci doğru şekilde $k=8$ bulur, ancak sorunun küçük kardeşin yaşını istediğini gözden kaçırıp büyük kardeşin yaşını ($3k=24$) cevap olarak verir.
Kolay soru13 üzerinden 6
Konuyu bilen öğrencinin birkaç adımda çözmesi beklenir.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir tekstil atölyesinde çalışan Elif, kendisine verilen bir siparişi tek başına 12 günde tamamlayabilmektedir. Aynı siparişi tek başına 18 günde bitirebilen Mert ile birlikte çalışmaya başlıyorlar. 6 gün birlikte çalıştıktan sonra Elif başka bir işe yönlendiriliyor ve siparişin kalan kısmını Mert tek başına tamamlıyor. Buna göre Mert, kalan işi tek başına kaç günde tamamlar?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
İşi birim hâline getirmek için Elif'in ve Mert'in bitirme sürelerinin (12 ve 18) EKOK'u alınır; toplam iş 36 birim kabul edilir.
Elif günde 36/12=3 birim, Mert günde 36/18=2 birim iş yapar.
6 gün birlikte çalıştıklarında tamamlanan iş miktarı hesaplanır.
Toplam işten tamamlanan kısım çıkarılarak kalan iş bulunur.
Kalan iş, yalnızca Mert'in günlük hızına bölünerek Mert'in bu kısmı tek başına bitirme süresi bulunur.
Sonuç: 3 gün
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, Elif ile birlikte 6 gün çalışılarak tamamlanan kısmı hesaba katmadan, sanki iş hiç başlamamış gibi toplam işin (36 birim) tamamını doğrudan Mert'in günlük hızına (2 birim/gün) bölmüştür: 36/2=18. Bu, Mert'in zaten verilen tek başına bitirme süresini (18 gün) tekrar üretir.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci kalan işi doğru hesaplar (36 birimlik işten 6 günde 5 birim/gün hızla 30 birim yapılır, kalan 6 birim) ancak Elif'in işten ayrıldığı koşulunu göz ardı edip kalan 6 birimlik işi hâlâ ikisinin birleşik hızıyla (5 birim/gün) bölmüştür: 6/5=1,2 gün.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci kalan işi doğru hesaplar (36 birimlik işin 30 birimi 6 günde bitmiş, kalan 6 birim) ama 6 gün sonra devam edenin Mert değil Elif olduğunu zanneder; kalan 6 birimlik işi Elif'in günlük hızına (3 birim/gün) bölerek 6/3=2 gün bulur. Kimin çalışmaya devam ettiği kavramsal olarak karıştırılmıştır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, iki kişinin tek başına bitirme sürelerinin aritmetik ortalamasının kalan işi bitirme süresini vereceğini düşünerek (12+18)/2=15 işlemini yapmıştır; bu, iş-hız ilişkisinin ters orantılı doğasını göz ardı eden yanlış bir genellemedir.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir kasabanın nüfusu birinci yılın sonunda %50 artmaktadır. İkinci yılın sonunda ise bir önceki yılın nüfusuna göre yine %50 artmaktadır. Bu iki yıllık artış sonunda kasabanın nüfusu, başlangıçtaki nüfusundan 800 kişi fazla olmuştur. Buna göre kasabanın ikinci yılın sonundaki nüfusu kaçtır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Başlangıç nüfusunu $P_0$ ile gösterelim. Birinci yılın sonunda nüfus %50 arttığı için birinci yıl sonu nüfusu $1{,}5P_0$ olur.
İkinci yılın sonunda nüfus, bir önceki yılın nüfusuna göre yine %50 arttığından ikinci yıl sonu nüfusu bulunur.
İki yıllık toplam artış miktarı (fazlalık), ikinci yıl sonu nüfusu ile başlangıç nüfusu arasındaki farktır.
Bu fazlalığın 800 kişi olduğu verilmiştir; denklemi çözerek başlangıç nüfusunu buluruz.
İkinci yılın sonundaki nüfus, $P_0$ değeri yerine konularak hesaplanır.
Sonuç: 1440
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci başlangıç nüfusu $P_0$'ı bulmak için $1{,}25P_0=800$ denklemini doğru kurup $P_0=640$ sonucuna ulaşır; ancak sorunun ikinci yılın sonundaki nüfusu istediğini gözden kaçırıp bu ara sonucu doğrudan cevap olarak verir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci art arda uygulanan iki %50'lik artışın toplam etkisini, yüzdelerin çarpılması yerine toplanmasıyla (%50+%50=%100) hesaplar; buna göre fazlalığı $1{,}00\cdot P_0=800$ alıp $P_0=800$ bulur, sonra ikinci yıl nüfusunu da aynı yanlış mantıkla $2\cdot 800=1600$ olarak hesaplar.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci iki aşamalı artışı fark etmeyip sanki tek bir %50 artış varmış gibi değerlendirir; birinci yılın etkisini atlayarak $0{,}5\cdot P_0=800$'den $P_0=1600$ bulur, ardından bu değeri de aynı tek aşamalı mantıkla %50 artırıp $1{,}5\cdot 1600=2400$ sonucuna ulaşır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci doğru kurduğu $1{,}25\cdot P_0=800$ denkleminde bölme yapması gerekirken çarpma yapar: $800\cdot 1{,}25=1000$ diyerek $P_0=1000$ bulur; sonra ikinci yıl nüfusunu $2{,}25\cdot 1000=2250$ olarak hesaplar.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir kırtasiyeci, A türü defterlerin toplam maliyetini B türü defterlerin toplam maliyetinin 3 katı olacak şekilde toptan satın almıştır. Kırtasiyeci, A türü defterleri %20 kârla, B türü defterleri ise %10 zararla satmıştır. Bu satışlar sonucunda toplam 200 TL kâr elde ettiğine göre, A türü defterlerin satış fiyatlarının toplamı kaç TL'dir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
B türü defterlerin toplam maliyeti x TL, A türü defterlerin toplam maliyeti ise verilen orana göre 3x TL olarak tanımlanır.
A türü defterlerden elde edilen kâr, maliyetinin %20'si; B türü defterlerden oluşan zarar ise maliyetinin %10'udur.
Toplam kâr, A'dan gelen kârdan B'den oluşan zararın çıkarılmasıyla bulunur ve bu değer 200 TL'ye eşitlenir.
Denklem çözülerek x'in değeri bulunur.
A türü defterlerin toplam maliyeti ve buna göre %20 kârla satış fiyatı hesaplanır.
Sonuç: 1440 TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, sorunun A türü defterlerin satış fiyatını istediğini gözden kaçırıp B türü defterlerin satış fiyatını hesaplar: B maliyeti x=400 TL bulunduktan sonra B satış fiyatı = 400·0,9 = 360 TL olarak verilir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, kâr yüzdesinin maliyet üzerinden değil satış fiyatı üzerinden hesaplandığını düşünür. A maliyeti 1200 TL bulunduktan sonra Satış = Maliyet/(1-0,20) = 1200/0,8 = 1500 TL işlemiyle yanlış sonuca ulaşır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, A'nın satış fiyatını hesaplarken yalnızca A'nın maliyetini değil, A ve B'nin toplam maliyetini (3x+x=1600 TL) kullanır: 1600·1,2 = 1920 TL sonucuna ulaşır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, 'A'nın maliyeti B'nin 3 katıdır' koşulunu gözardı edip A ve B maliyetlerini eşit (x) kabul eder. Bu durumda 0,2x-0,1x=200 → x=2000 TL bulunur ve A satış fiyatı = 2000·1,2 = 2400 TL olarak hesaplanır.
Orta soru13 üzerinden 8
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir kimya laboratuvarında, kütlece %20 tuz içeren A çözeltisi ile kütlece %50 tuz içeren B çözeltisi karıştırılarak 90 litre karışım hazırlanıyor. B çözeltisinin hacmi, A çözeltisinin hacminin 2 katına eşittir. Hazırlanan bu 90 litrelik karışımdan 30 litre alınıp kaptan uzaklaştırılıyor. Kalan karışıma, tuz oranı %0 olan bir miktar saf su ekleniyor. Elde edilen yeni karışımın tuz oranı %24 olduğuna göre, eklenen su miktarı kaç litredir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
A çözeltisinin hacmini x, B çözeltisinin hacmini bu hacmin 2 katı olarak tanımla: B=2x.
Toplam karışım hacmi 90 litre olduğundan x için denklem kur ve çöz.
A ve B hacimlerini bul: A=30 litre, B=60 litre.
Her çözeltideki tuz miktarını hesapla ve toplam tuz oranını bul.
Karışımdan bir miktar çekilmesi kalan karışımın tuz oranını değiştirmez; 30 litre çekildikten sonra kalan hacim 60 litredir ve oran hâlâ %40'tır.
Kalan 60 litredeki tuz miktarını hesapla.
Su eklenince tuz miktarı sabit kalır (24 litre), toplam hacim 60+W olur ve yeni oran %24'e eşitlenir; W için çöz.
Sonuç: 40
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, karışımdan 30 litre çekildikten sonra kalan hacmin 60 litre olduğunu hesaba katmayıp son oranı doğrudan başlangıçtaki 90 litre üzerinden kurar: kalan tuz 24 litre kabul edilse bile denklemi $\frac{24}{90+W}=0.24$ şeklinde yazar. Buradan $90+W=100 \Rightarrow W=10$ litre bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, eklenecek su miktarını $W=V\cdot\frac{C_{ilk}-C_{son}}{C_{son}}$ yerine yanlışlıkla $W=V\cdot\frac{C_{ilk}-C_{son}}{C_{ilk}}$ formülüyle hesaplayıp payda olarak ilk oranı kullanır: $W=60\cdot\frac{0.40-0.24}{0.40}=60\cdot\frac{0.16}{0.40}=24$ litre bulur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, 'B çözeltisinin hacmi A'nın 2 katıdır' bilgisini tersten okuyarak A=2B alır; bu durumda A=60, B=30 olur. Tuz miktarı $60\cdot0.20+30\cdot0.50=27$ litre, karışım oranı $27/90=\%30$ olur. 30 litre çekildikten sonra kalan 60 litredeki tuz $60\cdot0.30=18$ litre olur. Su eklenince $\frac{18}{60+W}=0.24 \Rightarrow 60+W=75 \Rightarrow W=15$ litre bulunur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, doğru şekilde kalan tuzu 24 litre ve kalan hacmi 60 litre bulur; ancak $24=0.24\cdot60+0.24W$ denklemindeki $0.24\cdot60$ çarpımını yanlış hesaplayarak (14,4 yerine 16,8 alarak) $24=16.8+0.24W$ yazar. Buradan $0.24W=7.2 \Rightarrow W=30$ litre bulunur.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
A ve B şehirleri arasındaki uzaklık, saatte 100 km sabit hızla giden bir aracın 3 saatte alacağı yola eşittir. Ali, A şehrinden; Veli ise B şehrinden aynı anda birbirlerine doğru hareket etmeye başlıyor. Ali'nin hızının Veli'nin hızına oranı 3/2'dir. Ali, hiç durmadan gittiği bu yolun tamamını 5 saatte tamamlıyor. Bu iki araç yolda karşılaştıktan sonra kendi hızlarıyla yollarına devam ediyor. Buna göre Veli'nin A şehrine varış süresi ile Ali'nin B şehrine varış süresi arasındaki fark kaç saattir?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
İki şehir arasındaki uzaklık, saatte 100 km giden bir aracın 3 saatte alacağı yola eşit olduğundan hesaplanır.
Ali bu 300 km'lik yolu 5 saatte tamamladığından hızı bulunur.
Ali'nin hızının Veli'nin hızına oranı 3/2 olduğundan Veli'nin hızı bulunur.
Aynı anda karşılıklı harekete başlayan iki araç, hızlarının toplamı kadar sürede karşılaşır.
Karşılaşma anına kadar her aracın kat ettiği mesafe hesaplanır.
Karşılaşma sonrası her aracın gitmesi gereken kalan mesafe bulunur.
Kalan mesafeler kendi hızlarına bölünerek karşılaşma sonrası varış süreleri bulunur.
İstenen fark, iki varış süresi arasındaki fark alınarak bulunur.
Sonuç: 2,5 saat
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, karşılaşmadan sonra her aracın kalan yolunu, toplam yoldan kat edilen kısmı çıkararak değil, kendi kat ettiği mesafenin aynısı kadar hesaplarsa Ali için $180/60=3$ saat, Veli için $120/40=3$ saat bulur ve aradaki farkı $3-3=0$ saat sanır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci hız oranını ters uygulayarak Veli'nin hızını $60\cdot\frac{3}{2}=90$ km/sa bulur. Bu durumda karşılaşma süresi $t=\frac{300}{60+90}=2$ saat, Ali'nin kalan yolu $300-120=180$ km (süre $3$ saat), Veli'nin kalan yolu $300-180=120$ km (süre $\frac{4}{3}$ saat) olur ve fark $3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$ saat çıkar.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci doğru şekilde Ali'nin kalan süresini $2$ saat, Veli'nin kalan süresini $4,5$ saat bulur; ancak istenen 'fark'ı, iki sürenin oranı sanarak $\frac{4,5}{2}=2,25$ değerini cevap olarak verir.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'Ali bu yolun tamamını 5 saatte tamamlıyor' ifadesini yanlışlıkla 'iki araç 5 saat sonra karşılaşıyor' şeklinde yorumlar ve $(3k+2k)\cdot5=300$ denklemini kurar; buradan $k=12$, hızlar $36$ ve $24$ km/sa bulunur. Ali'nin kalan süresi $\frac{120}{36}=\frac{10}{3}$ saat, Veli'nin kalan süresi $\frac{180}{24}=7,5$ saat olup fark $7,5-\frac{10}{3}=\frac{25}{6}$ saat çıkar.
Zor soru13 üzerinden 10
Uzun bir çözüm ya da birkaç konunun bir arada kullanılmasını ister. Bu sorular sınavda ayırt edici olanlardır.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir kırtasiyeci, deposundaki çizgili, kareli ve düz defterleri satışa hazırlamaktadır. Depodaki çizgili defter sayısının kareli defter sayısına oranı $4:5$, kareli defter sayısının düz defter sayısına oranı ise $3:2$'dir. Kırtasiyeci bu defterlerin tamamını, her birine tam olarak $12$ defter sığan kutulara hiç defter artmayacak şekilde yerleştirebilmektedir. Depodaki toplam defter sayısının $400$'den fazla, $700$'den az olduğu bilindiğine göre, kareli defter sayısı kaçtır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Çizgili:Kareli oranı $4:5$, Kareli:Düz oranı $3:2$'dir. Kareli terimini ortaklaştırmak için $5$ ve $3$'ün ortak katı olan $15$ kullanılır: $4:5=12:15$ ve $3:2=15:10$.
Böylece Çizgili:Kareli:Düz oranı $12:15:10$ elde edilir. $k$ pozitif tam sayı olmak üzere Çizgili$=12k$, Kareli$=15k$, Düz$=10k$ ve toplam $=37k$'dır.
Defterler her biri $12$'lik kutulara artmadan sığdığından toplam sayı $12$'ye tam bölünmelidir: $37k \equiv 0 \pmod{12}$. $37$ ile $12$ aralarında asal olduğundan $k$'nın $12$'nin katı olması gerekir.
Toplam defter sayısının $400$ ile $700$ arasında olduğu bilgisi kullanılarak uygun $k$ değeri aranır: $k=12$ için toplam $37\cdot 12=444$ (aralıkta), $k=24$ için toplam $37\cdot 24=888$ (aralık dışı).
Koşulları sağlayan tek değer $k=12$'dir; bu nedenle toplam defter sayısı $444$'tür.
Kareli defter sayısı $15k$ formülünden hesaplanır: $15\cdot 12=180$.
Sonuç: 180
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci oranları doğru birleştirip $k=12$'yi doğru bulmasına rağmen, sorunun kareli defter değil çizgili defter sayısını sorduğunu zannederek $12k=12\cdot 12=144$ değerini cevap olarak vermiştir.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci oranları birleştirirken ortak terimi (kareli) ölçeklendirmeyi atlayıp $Çizgili:Kareli:Düz=4:5:2$ şeklinde doğrudan yan yana yazmıştır (toplam oran $11$). Toplamın $12$'ye bölünebilme koşulunu uygulayıp $k$'nın $12$'nin katı olması gerektiğini bulmuş, aralık koşulunu ($400<11k<700$) sağlayan ilk uygun değer olan $k=48$'i kullanarak kareli sayısını $5\cdot 48=240$ olarak hesaplamıştır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci doğru oranı ($12:15:10$, toplam $37$) ve $k$'nın $12$'nin katı olması gerektiğini doğru bulmuştur. Ancak $37\times 24$ çarpımını hatalı hesaplayarak sonucun $700$'den küçük çıktığını zannetmiş, bu yüzden $k=24$'ü de geçerli kabul edip kareli sayısını $15\cdot 24=360$ olarak bulmuştur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci oranları doğru birleştirmiş ($12:15:10$) fakat kutulama koşulundan gelen 'toplamın 12'ye tam bölünmesi gerektiği' şartını unutmuş, sadece $400<37k<700$ aralığını sağlayan bir $k$ değeri (örneğin $k=18$, toplam $666$) seçip kareli sayısını $15\cdot 18=270$ olarak hesaplamıştır.
Zor soru13 üzerinden 10
Uzun bir çözüm ya da birkaç konunun bir arada kullanılmasını ister. Bu sorular sınavda ayırt edici olanlardır.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Pozitif gerçek sayılar $m$ ve $n$ ters orantılı olarak değişmektedir. $m$ değeri $\frac{1}{5}$ katına düşürülürse, $n$ için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
$m$ ile $n$ ters orantılı olduğundan çarpımları sabittir: $m\cdot n = k$. $m$ değeri $\frac{1}{5}$ katına düşürülüp $\frac{m}{5}$ olduğunda çarpımın yine $k$'ye eşit kalması için $n$'nin 5 katına çıkması gerekir: $\frac{m}{5}\cdot (5n) = m\cdot n = k$.
Sonuç: $n$ değeri 5 katına çıkar.
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci ters orantıyı doğru orantı gibi düşünüp, $m$ küçüldüğü için $n$'nin de aynı oranda küçüleceğini varsayarsa bu sonuca ulaşır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci $m$ ile $n$ arasındaki ters orantı ilişkisini kavrayamayıp iki büyüklüğü birbirinden bağımsız sanırsa $n$'nin sabit kalacağını düşünür.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci çarpımın sabit kalması gerektiğini fark edip 5 sayısını kullanır ama çarpma yerine toplama işlemi uygulayarak $n$'ye 5 eklendiğini sanır.
Belirli bir hataya dayanmayan, dikkatli bir öğrencinin kolayca eleyeceği seçenek.
Öğrenci orantı sabitinin ($k=m\cdot n$) sayısal değeri verilmediği için bir sonuca varılamayacağını düşünür; oysa ters orantı tanımı sabit $k$'nin değerinden bağımsız olarak kesin bir oransal ilişki verir.
Kolay soru13 üzerinden 6
Konuyu bilen öğrencinin birkaç adımda çözmesi beklenir.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
İki sayının toplamı 84'tür. Bu sayılardan büyüğü, küçüğünün 3 katından 4 fazladır. Buna göre bu iki sayı arasındaki fark kaçtır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Küçük sayıyı x ile gösterelim. Büyük sayı, küçüğünün 3 katından 4 fazla olduğundan büyük sayı 3x+4 olur.
İki sayının toplamı 84 olduğundan denklemi kurup çözelim.
Küçük sayı 20, büyük sayı 3(20)+4=64'tür. Bu iki sayı arasındaki fark hesaplanır.
Sonuç: 44
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci denklemi doğru kurup çözerek küçük sayıyı (x=20) bulur, ancak sorunun iki sayı arasındaki farkı istediğini gözden kaçırıp bulduğu bu ara sonucu doğrudan cevap olarak yazar.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'küçüğünün 3 katından 4 fazladır' ifadesindeki '3 katı' koşulunu atlayarak büyük sayının küçükten sadece 4 fazla olduğunu varsayar; bu yanlış anlayışla toplamı hiç kullanmadan farkı doğrudan 4 olarak yazar.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'küçüğünün 3 katından 4 fazladır' ifadesini işaretçe ters kurup denklemi $x+3x-4=84$ şeklinde yazar: $4x=88 \Rightarrow x=22$, büyük sayı $3(22)-4=62$ olur ve fark $62-22=40$ bulunur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci küçük sayıyı 20, büyük sayıyı 64 olarak doğru bulur; ancak $64-20$ çıkarma işlemini yaparken basamak hatası yaparak farkı 34 olarak hesaplar.
Orta soru13 üzerinden 7
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir gezi için toplanan paranın $\frac{1}{6}$'sı otobüs bileti için harcanıyor. Kalan paranın $\frac{1}{3}$'ü konaklama için ayrılıyor. Geriye kalan 300 TL, yemek masrafları için ayrıldığına göre, otobüs biletine harcanan para kaç TL'dir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Toplam para $x$ olsun. Otobüs biletine $\frac{x}{6}$ harcanır, geriye $\frac{5x}{6}$ kalır.
Kalan paranın $\frac{1}{3}$'ü konaklamaya ayrılır: $\frac{1}{3}\cdot\frac{5x}{6}=\frac{5x}{18}$. Bu düşüldükten sonra geriye $\frac{5x}{6}-\frac{5x}{18}=\frac{5x}{9}$ kalır.
Kalan 300 TL'ye eşitlenip $x$ bulunur, ardından otobüs bileti tutarı hesaplanır.
Sonuç: 90
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci toplam parayı doğru şekilde $x=540$ TL olarak bulur; ancak sorunun otobüs biletine harcanan parayı sorduğunu unutup çözümü tamamlamadan toplam tutarı cevap olarak verir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci toplam parayı doğru şekilde $x=540$ TL bulur, ancak sorunun otobüs biletini değil konaklama masrafını sorduğunu zannederek kalan paranın $\frac{1}{3}$'ü olan konaklama tutarını hesaplar: $\frac{5x}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5\cdot540}{18}=150$ TL'yi yanlışlıkla otobüs bileti tutarı olarak verir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci ardışık uygulanan kesirlerin her birinin toplam üzerinden alınabileceğini düşünerek kalanı $x\left(1-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\right)=\frac{x}{2}$ olarak hesaplar. $\frac{x}{2}=300 \Rightarrow x=600$ bulur ve otobüs biletini $\frac{x}{6}=\frac{600}{6}=100$ TL olarak verir.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci $x=540$ TL'yi doğru bulur; ancak otobüs biletine ayrılan payı hesaplarken $\frac{1}{6}$ kesrini yanlışlıkla $\frac{1}{5}$ olarak alıp $\frac{540}{5}=108$ TL sonucuna ulaşır.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
İki arkadaş Ege ile Kaan'ın şu anki yaşları oranı $5:3$'tür. Aralarındaki yaş farkı 8 olduğuna göre, Kaan; Ege'nin şu anki yaşına geldiğinde, ikisinin yaşları toplamı kaç olur?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Ege ve Kaan'ın yaşları oranı $5:3$ olduğundan yaşları $5k$ ve $3k$ olarak yazılır. Aralarındaki fark 8 olduğundan denklem kurulur ve $k$ bulunur.
Kaan'ın, Ege'nin şu anki yaşı olan 20'ye ulaşması için geçmesi gereken süre, ikisinin yaş farkı kadardır.
8 yıl sonra Ege'nin yaşı $20+8=28$ olur; bu anda ikisinin yaşları toplamı Kaan'ın yeni yaşı (20) ile Ege'nin yeni yaşının (28) toplamına eşittir.
Sonuç: 48
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci $k=4$ bulup Ege'nin gelecekteki yaşını doğru hesaplar ($20+8=28$) ama sorunun 'ikisinin yaşları toplamı' istediğini unutup sadece Ege'nin o anki yaşını cevap olarak yazar.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci oranı doğru çözüp Ege $=20$, Kaan $=12$ bulur; ancak 'Kaan, Ege'nin şu anki yaşına geldiğinde' şartını atlayarak zaman geçişini hesaba katmadan şu anki yaşlar toplamını ($20+12=32$) cevap olarak verir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, Kaan'ın Ege'nin şu anki yaşına ulaşması için geçmesi gereken sürenin, sabit yaş farkı olan 8 yıl olduğunu kavrayamaz; bunun yerine geçen sürenin Ege'nin şu anki yaşı kadar (20 yıl) olduğunu düşünür. Böylece Ege'nin yeni yaşını $20+20=40$, Kaan'ın yeni yaşını $12+20=32$ olarak bulur ve toplamı $40+32=72$ hesaplar.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci yaş farkını oran denklemine yanlış uygular; $5k-3k=8$ yerine $5k+3k=8$ yazarak $k=1$ bulur, Ege $=5$, Kaan $=3$ olur. Aynı mantıkla süreyi $5-3=2$ yıl alıp Ege'nin yeni yaşını $5+2=7$, toplamı $3+7=... $ değil $12$ olarak (Kaan'ın şu anki yaşı ile Ege'nin yeni yaşının toplamı $5+7=12$) hesaplar.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir su deposunda A ve B adında iki dolum musluğu ile bir de boşaltma gideri bulunmaktadır. A musluğu boş depoyu tek başına 12 saatte, B musluğu tek başına 20 saatte doldurabilmektedir. Gider ise dolu depoyu tek başına 30 saatte boşaltabilmektedir. Boş depoda önce yalnızca A musluğu 4 saat boyunca açık tutuluyor, ardından A musluğu kapatılıp B musluğu ile gider aynı anda açılıyor ve depo tamamen dolana kadar bu şekilde bırakılıyor. Depo, ilk anından itibaren toplam kaç saatte tamamen dolar?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Musluk ve gider hızlarını tam sayı olarak ifade edebilmek için deponun kapasitesini 12, 20 ve 30 sayılarının EKOK'u olan 60 birim kabul edelim. Buna göre A musluğu saatte 60/12=5 birim, B musluğu saatte 60/20=3 birim doldurur; gider ise saatte 60/30=2 birim boşaltır.
İlk 4 saat yalnızca A musluğu açık olduğundan bu sürede dolan miktar hesaplanır.
Depoda dolması gereken kalan miktar bulunur.
İkinci aşamada B musluğu ile gider aynı anda çalıştığından net dolum hızı, doldurma hızından boşaltma hızının çıkarılmasıyla bulunur.
Kalan 40 birimin bu net hızla dolması için gereken süre hesaplanır ve ilk 4 saat ile toplanarak toplam süre bulunur.
Sonuç: 44 saat
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci ikinci aşamada gerekli süreyi (40 saat) doğru bulur fakat ilk 4 saatlik dolum süresini toplam süreye eklemeyi unutur; sonucu doğrudan 40 saat olarak verir.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci A musluğunun yalnızca ilk 4 saat çalıştığını fark etmeyip, sürecin başından itibaren sadece B musluğu ile giderin birlikte çalıştığını varsayar; net dolum hızını 3-2=1 birim/saat, toplam kapasiteyi 60 birim alarak 60/1=60 saat bulur.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci ikinci aşamada giderin depoyu boşalttığını değil doldurduğunu varsayarak net hızı B+gider=3+2=5 birim/saat alır; kalan 40 birim bu hızla 8 saatte dolar ve toplam süreyi 4+8=12 saat bulur.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci ikinci aşamada kalan 40 birimlik miktarı net hız olan 1 birim/saat ile bölerken işlem hatası yaparak 40/1 sonucunu yanlışlıkla 4 olarak hesaplar ve toplam süreyi 4+4=8 saat bulur.
Orta soru13 üzerinden 8
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir elektronik mağazasında X ürününün etiket fiyatı 4000 TL, Y ürününün etiket fiyatı 3000 TL'dir. Mağaza sahibi X ürününe önce %20 zam yapıyor, ardından bu yeni fiyat üzerinden %10 indirim uyguluyor. Y ürününe ise önce %10 indirim yapıyor, ardından bu yeni fiyat üzerinden %25 zam uyguluyor. Bu işlemlerin sonunda X ürününün fiyatı, Y ürününün fiyatından kaç TL fazla olur?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
X ürününe %20 zam uygulanır; fiyat 4000 TL'nin 1,20 katı olur.
Elde edilen 4800 TL'lik fiyata %10 indirim uygulanır; bu fiyatın 0,90 katı alınır.
Y ürününe %10 indirim uygulanır; fiyat 3000 TL'nin 0,90 katı olur.
Elde edilen 2700 TL'lik fiyata %25 zam uygulanır; bu fiyatın 1,25 katı alınır.
X ürününün son fiyatından Y ürününün son fiyatı çıkarılarak aradaki fark bulunur.
Sonuç: 945 TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci ardışık yüzde değişimlerinin her zaman yeni değer üzerinden bileşik (çarpımsal) uygulanması gerektiğini kavrayamaz; bunun yerine yüzdeleri doğrudan toplayıp/çıkararak orijinal fiyat üzerinden hesaplar. X için %20 zam - %10 indirim = net %10 zam kabul edilir: 4000\cdot1{,}10=4400 TL. Y için %10 indirim + %25 zam = net %15 zam kabul edilir: 3000\cdot1{,}15=3450 TL. Fark: 4400-3450=950 TL bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci hangi yüzde işleminin hangi ürüne ait olduğunu karıştırır; X ürününe yanlışlıkla Y'nin işlemlerini (önce %10 indirim, sonra %25 zam), Y ürününe ise X'in işlemlerini (önce %20 zam, sonra %10 indirim) uygular. X: 4000\cdot0{,}90=3600,\ 3600\cdot1{,}25=4500 TL. Y: 3000\cdot1{,}20=3600,\ 3600\cdot0{,}90=3240 TL. Fark: 4500-3240=1260 TL bulunur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'kaç TL fazladır' sorusunu, iki fiyat arasındaki oranı yüzde olarak bulma sorusuyla karıştırır. Doğru son fiyatları (4320 TL ve 3375 TL) bulduktan sonra farkı almak yerine X'in fiyatının Y'nin fiyatına oranını yüzde cinsinden hesaplar: \frac{4320}{3375}\cdot100=128 ve bu sayıyı TL cinsinden fark sanır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci doğru son fiyatları (4320 TL ve 3375 TL) bulduktan sonra TL cinsinden farkı değil, farkın Y'nin fiyatına oranının yüzdesini hesaplar: \frac{4320-3375}{3375}\cdot100=28 ve bu yüzde değerini yanlışlıkla TL cinsinden fark olarak verir.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir esnaf, A ve B mallarını toptan alarak toplam 800 TL maliyetle stoğunu oluşturmuştur. A malının maliyeti, B malının maliyetinin 3 katıdır. Esnaf, A malını maliyetinin %25 fazlasına, B malını ise maliyetinin %60 fazlasına satarak tüm stoğu satmıştır. Buna göre esnafın bu satışlardan elde ettiği toplam kâr kaç TL'dir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
B malının maliyeti x TL olsun. A malının maliyeti B'nin 3 katı olduğundan A malının maliyeti 3x TL'dir.
İki malın toplam maliyeti 800 TL olduğundan denklemi kurup çözelim.
Buna göre B malının maliyeti 200 TL, A malının maliyeti 3×200=600 TL'dir.
A malı maliyetinin %25 fazlasına satıldığından A'dan elde edilen kâr, maliyetin %25'idir.
B malı maliyetinin %60 fazlasına satıldığından B'den elde edilen kâr, maliyetin %60'ıdır. İki kârı toplayarak toplam kârı buluruz.
Sonuç: 270 TL
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci kâr ile satış fiyatını karıştırır; her iki malın satış fiyatlarını (600×1,25=750 ve 200×1,60=320) toplayarak bunu toplam kâr sanır: 750+320=1070 TL.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci kâr yüzdesinin maliyet yerine satış fiyatı üzerinden hesaplandığını sanır. Buna göre satış fiyatını Satış=Maliyet/(1-yüzde) ile bulur: A için 600/0,75=800 TL (kâr 200), B için 200/0,40=500 TL (kâr 300); toplam kâr 200+300=500 TL bulunur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, kâr yüzdelerini mallarla ters eşleştirerek yüksek yüzdenin yüksek maliyetli mala ait olması gerektiğini düşünür: A malının maliyeti olan 600 TL'ye %60 uygular (600×0,60=360 TL), B malının maliyeti olan 200 TL'ye %25 uygular (200×0,25=50 TL). Toplam kârı 360+50=410 TL olarak bulur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'A malının maliyeti B'nin 3 katıdır' koşulunu göz ardı edip 800 TL'yi iki mal arasında eşit paylaştırır (400-400 TL): 400×0,25=100 TL ve 400×0,60=240 TL, toplam 100+240=340 TL bulunur.
Zor soru13 üzerinden 10
Uzun bir çözüm ya da birkaç konunun bir arada kullanılmasını ister. Bu sorular sınavda ayırt edici olanlardır.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir sürücü, A şehrinden B şehrine hep aynı hızda giderek 3 saatte ulaşıyor. Bu hız, rakamları birbirinden farklı iki basamaklı bir sayı ile ifade edilmektedir. Sürücü, B şehrinden A şehrine dönerken hızını, gidiş hızının rakamlarının yerini değiştirerek elde ettiği yeni bir sabit hızla sürüyor. Sürücünün A şehrinden ayrılıp B şehrine gidip tekrar A şehrine dönmesi toplam 5 saat 30 dakika sürdüğüne göre, A ve B şehirleri arasındaki uzaklık kaç km'dir?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Gidiş hızını iki basamaklı bir sayı olarak tanımlayalım: onlar basamağı $a$, birler basamağı $b$ olmak üzere hız $V_1=10a+b$ olsun (a≠b, b≠0).
Bu hızla 3 saatte alınan yol, A ile B şehirleri arasındaki mesafedir.
Dönüşte rakamlar yer değiştirdiğinden yeni hız $V_2=10b+a$'dır.
Toplam yolculuk süresi 5 saat 30 dakika, yani 5,5 saattir. Gidiş 3 saat sürdüğüne göre dönüş süresi 2,5 saattir.
Aynı yol dönüşte de alındığından, X aynı zamanda dönüş hızı ile dönüş süresinin çarpımına eşittir.
İki ifadeyi eşitleyip a ve b cinsinden denklemi kuralım ve sadeleştirelim.
a ve b birer rakam olduğundan (1-9) ve b tam sayı olması gerektiğinden a=4 için b=5 bulunur (a=8 için b=10 basamak olamayacağından geçersizdir).
Buna göre gidiş hızı 45 km/sa'tir; mesafe bu hızla 3 saatte alınan yoldur.
Sonuç: 135 km
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci hangi hızın hangi yolculuğa ait olduğunu karıştırır; 3 saatlik gidiş süresini yanlışlıkla dönüş hızı olan 54 km/sa ile çarpar: $X=3\times54=162$ km.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci ortalama hızı iki hızın aritmetik ortalaması (harmonik ortalama yerine) olarak hesaplar: $V_{ort}=\frac{45+54}{2}=49,5$ km/sa, ardından bunu yalnızca gidiş süresi olan 3 saatle çarparak yolu bulur: $X=49,5\times3=148,5$ km.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, toplam yolculuk süresi olan 5,5 saati tamamen gidiş hızıyla (45 km/sa) çarpar, gidiş ve dönüşün ayrı sürelerde gerçekleştiğini dikkate almaz: $X=5,5\times45=247,5$ km.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci, toplam yolculuk süresi olan 5,5 saati tamamen dönüş hızıyla (54 km/sa) çarpar; 3 saatlik gidiş kısmının ayrı ele alınması gerektiğini gözden kaçırır: $X=5,5\times54=297$ km.
Orta soru13 üzerinden 9
Birden fazla adım ve biraz dikkat ister; sınavdaki tipik soru budur.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
Bir okul kütüphanesindeki hikâye kitabı sayısının roman kitabı sayısına oranı $\frac{3}{4}$'tür ve kütüphanedeki bu iki tür kitabın toplam sayısı 100'den azdır. Kütüphaneci, elindeki tüm hikâye kitaplarını öğrencilere 3'er 3'er, tüm roman kitaplarını ise 5'er 5'er dağıtmayı planlamaktadır. Dağıtım sonunda hiçbir kitap artmayacağına göre, kütüphanedeki roman kitabı sayısı en fazla kaç olabilir?
Yorum sorusu. Şıklar sayı değil, cümledir. Öğrenci hangi yargının kesinlikle doğru olduğuna karar verir.
Hikâye ve roman kitap sayıları arasındaki oran 3/4 olduğundan, bir $k$ pozitif tam sayısı için hikâye kitabı sayısı $3k$, roman kitabı sayısı $4k$ olarak yazılır.
Toplam kitap sayısının 100'den az olması koşulu kullanılır.
$k$ tam sayı olduğundan bu eşitsizliği sağlayan en büyük değer bulunur: $7\cdot14=98<100$ iken $7\cdot15=105$ koşulu sağlamaz, dolayısıyla $k\le14$.
Roman kitaplarının 5'er 5'er, hiçbiri artmadan dağıtılabilmesi için roman sayısı olan $4k$'nın 5'e tam bölünmesi gerekir. $\gcd(4,5)=1$ olduğundan bu, $k$'nın 5'in katı olması anlamına gelir.
$k\le14$ ve $k$'nın 5'in katı olması koşulunu birlikte sağlayan değerler $k=5$ ve $k=10$'dur; roman sayısını en fazla yapmak için en büyük $k$ değeri seçilir: $k=10$.
Bulunan $k=10$ değeri ile roman kitabı sayısı hesaplanır; hikâye sayısı olan $3\cdot10=30$ de 3'e tam bölündüğünden dağıtım koşulu tutarlıdır.
Sonuç: 40
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci yalnızca toplam sayının 100'den az olması koşulunu kullanır, roman kitaplarının 5'er 5'er tam bölünerek dağıtılması gerektiği koşulunu atlar. Böylece $7k<100$'den en büyük $k=14$'ü alıp roman sayısını $4\cdot14=56$ olarak bulur; oysa bu değer 5'e tam bölünmediği için dağıtım koşulunu sağlamaz.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, 5'e bölünebilme koşulunun yalnızca roman kitaplarına ait olduğunu değil, toplam kitap sayısına ait olduğunu düşünür. $7k$'nın 5'e bölünmesini ister, bu da $k$'nın 5'in katı olmasını gerektirir; en büyük uygun $k=10$'u bulur. Ancak sorunun roman kitabı sayısını sorduğunu unutup toplam kitap sayısını ($7\cdot10=70$) cevap olarak verir.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci oranı ters kurar; hikâye kitabı sayısını $4k$, roman kitabı sayısını $3k$ alır. Toplam koşulundan $7k<100 \Rightarrow k\le14$, roman sayısının 5'e bölünmesi koşulundan $3k$'nın 5'e bölünmesi için $k$'nın 5'in katı olması gerektiğini bulup en büyük $k=10$'u seçer; roman sayısını $3\cdot10=30$ olarak hesaplar.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci kurulumu doğru yapar (hikâye $3k$, roman $4k$, $k$'nın 5'in katı olması gerektiğini bulur) fakat toplam koşulunu sağlayan tüm $k$ değerlerini (5 ve 10) karşılaştırıp en büyüğünü seçmek yerine ilk bulduğu $k=5$ değerini kullanır ve roman sayısını $4\cdot5=20$ olarak verir.
Zor soru13 üzerinden 10
Uzun bir çözüm ya da birkaç konunun bir arada kullanılmasını ister. Bu sorular sınavda ayırt edici olanlardır.
Zorluk, soruyu üreten yapay zekânın kendi görüşü değildir. Sorunun nasıl üretildiğini bilmeyen ayrı bir değerlendirme, soruyu sıfırdan okuyup puanlar. Soru, hedeflediğimiz zorlukta değil, bu bağımsız puanın gösterdiği zorlukta kaydedilir.
2 soru üretildi, 2 tanesi henüz denetlenmedi. Tek bir konu üzerinde yapılan ilk denemelerden.
Ayşe ile annesinin yaşları toplamı 50'dir. 5 yıl sonra annenin yaşı, Ayşe'nin yaşının 3 katı olacaktır. Buna göre annenin şimdiki yaşı kaçtır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Ayşe'nin şimdiki yaşına $x$ diyelim; toplam yaş 50 olduğundan annenin şimdiki yaşı $50-x$ olur.
5 yıl sonra annenin yaşı Ayşe'nin yaşının 3 katı olacağından denklemi kurarız.
Denklemi düzenleyip çözeriz: sağ taraf açılır, terimler bir araya toplanır ve $x$ bulunur; ardından anne yaşı hesaplanır.
Sonuç: 40
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci '5 yıl sonra' ifadesini '5 yıl önce' gibi yorumlayarak $50-x-5=3(x-5)$ denklemini kurar. Bu denklemden $45-x=3x-15 \Rightarrow 60=4x \Rightarrow x=15$ bulunur ve anne yaşı $50-15=35$ olarak hesaplanır.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Doğru denklem $55-x=3x+15$ kurulduktan sonra terimler yanlış birleştirilerek $-x$ ve $3x$'in toplamı $2x$ sanılır: $55-15=2x \Rightarrow 40=2x \Rightarrow x=20$. Bu durumda anne yaşı $50-20=30$ bulunur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'annenin yaşı Ayşe'nin yaşının 3 katı olacak' ifadesini ters kurarak Ayşe'nin yaşının anne yaşının 3 katı olduğunu varsayar: $x+5=3(50-x+5)$. Bu denklemden $x+5=165-3x \Rightarrow 4x=160 \Rightarrow x=40$ (Ayşe'nin yaşı olarak) bulunur ve anne yaşı yanlışlıkla $50-40=10$ olarak verilir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci yaşlar toplamının eşit paylaşıldığını düşünerek '5 yıl sonra 3 katı' koşulunu hiç kullanmadan doğrudan $50/2=25$ işlemini yapar ve bunu anne yaşı olarak verir.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Mehmet ile oğlu arasındaki yaş farkı yıllar geçse de değişmez. Oğlu, Mehmet'in şu anki yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı $130$ olacaktır. Ayrıca $10$ yıl önce Mehmet'in yaşı, oğlunun yaşının $4$ katıydı. Buna göre Mehmet, oğlu doğduğunda kaç yaşındaydı?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Mehmet'in şu anki yaşı $B$, oğlunun şu anki yaşı $S$ olsun. Yaş farkı $B-S$ zamanla değişmeyen sabit bir değerdir.
Oğul, Mehmet'in şu anki yaşı olan $B$'ye ulaşana kadar $B-S$ yıl geçmelidir. O an oğlun yaşı $B$, Mehmet'in yaşı ise $B+(B-S)=2B-S$ olur. İkisinin toplamı 130 verildiğine göre:
10 yıl önce Mehmet'in yaşı, oğlunun yaşının 4 katıydı koşulundan ikinci denklem kurulur:
İki denklem birlikte çözülür: $3B-S=130$ denkleminde $B=4S-30$ yerine yazılır.
Mehmet ile oğlu arasındaki yaş farkı, Mehmet'in oğlu doğduğunda sahip olduğu yaşa eşittir.
Sonuç: 30
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
'Oğul, babasının şu anki yaşına geldiğinde ikisinin toplamı 130' ifadesindeki zaman kaymasını göz ardı edip, bunu doğrudan şu anki yaşların toplamı gibi kurar: $B+S=130$. İkinci denklem doğru kurulur: $B=4S-30$. Bu ikisi çözülünce $S=32$, $B=98$ bulunur ve fark $98-32=66$ olarak verilir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Denklem sistemini doğru kurup $3B-S=130$ ve $B=4S-30$ denklemlerinden $S=20$, $B=50$ bulur; fakat sorulan 'oğul doğduğunda babanın yaşı' ifadesini 'babanın şu anki yaşı' ile karıştırıp cevabı doğrudan $B=50$ olarak verir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Sistemi doğru çözüp $S=20$, $B=50$ bulur; ancak yaş farkı $B-S$ yerine, oğul babanın şu anki yaşına geldiğinde babanın ulaşacağı yaş olan $2B-S=2(50)-20=80$ ifadesini yanlışlıkla nihai cevap sanır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Denklemleri doğru kurup $3B-S=130$ ve $B=4S-30$'dan $S=20$ değerini bulur; ancak çözüme devam edip $B$'yi ve ardından yaş farkını hesaplamayı unutarak, bulduğu ilk değer olan $S=20$'yi doğrudan cevap olarak yazar.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
1 soru üretildi, 1 tanesi henüz denetlenmedi. Tek bir konu üzerinde yapılan ilk denemelerden.
Bir ailede baba, anne ve çocuğun yaşları söz konusudur. Baba her zaman anneden 4 yaş büyüktür. 6 yıl sonra baba ile çocuğun yaşları oranı $\frac{5}{2}$, anne ile çocuğun yaşları oranı ise $\frac{9}{4}$ olacaktır. Buna göre, anne çocuğunu doğurduğunda kaç yaşındaydı?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Şu anki yaşları değişkenlerle tanımlayalım: anne $A$, baba $B$, çocuk $C$.
Baba ile anne arasındaki yaş farkı zamanla değişmez; baba anneden 4 yaş büyüktür.
6 yıl sonraki yaşlarını yazalım: baba $B+6$, anne $A+6$, çocuk $C+6$.
Baba ile çocuğun 6 yıl sonraki yaşları oranı 5/2 olduğundan denklem kurulur.
Anne ile çocuğun 6 yıl sonraki yaşları oranı 9/4 olduğundan ikinci denklem kurulur.
$C+6=x$ diyelim; bu durumda baba ve anne için 6 yıl sonraki yaşlar x cinsinden yazılır.
Baba-anne farkının 4 olduğu bilgisini x cinsinden yazıp x'i buluruz (fark, 6 yıl eklenmesinden etkilenmez).
x = C+6 olduğundan çocuğun şu anki yaşı, ardından baba ve annenin şu anki yaşları bulunur.
Anne, çocuğunu doğurduğunda (C yıl önce) annenin yaşı, şu anki yaşından çocuğun şu anki yaşının çıkarılmasıyla bulunur.
Sonuç: 20
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci sadece çocuğun şu anki yaşını ($C=10$) bulur; sorunun aslında 'annenin doğum anındaki yaşını' sorduğunu unutup bu değeri doğrudan cevap olarak işaretler.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci $x=C+6$ eşitliğini kurduktan sonra doğum anındaki anne yaşını hesaplarken, çocuğun GELECEKTEKİ (6 yıl sonraki) yaşı olan $x$'i, annenin ŞİMDİKİ yaşından çıkarır ve zaman kaymasını hesaba katmayı unutur: $A-x=30-16=14$.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci $x=C+6$ ifadesinin anlamını kavrayamaz; bulduğu $x=16$ değerinin çocuğun şu anki yaşına 6 eklenmiş hali olduğunu fark etmeden bu sayıyı doğrudan sorunun cevabı olarak verir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci 'anne' ile 'baba' kavramlarını karıştırarak, doğum anındaki yaşı anne için değil baba için hesaplar: $B-C=34-10=24$.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
4 soru üretildi, 4 tanesi henüz denetlenmedi. Tek bir konu üzerinde yapılan ilk denemelerden.
Ayşe ile annesinin yaşları toplamı 54'tür. 6 yıl önce annesinin yaşı, Ayşe'nin o zamanki yaşının 5 katı olduğuna göre annesinin şimdiki yaşı kaçtır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Ayşe'nin şimdiki yaşı x, annesinin şimdiki yaşı y olsun. Yaşları toplamı 54 olduğundan bu bilgi denklem olarak yazılır.
6 yıl önce her ikisinin de yaşından 6 çıkarılır ve annenin o zamanki yaşı, Ayşe'nin o zamanki yaşının 5 katına eşitlenir.
İki denklem birlikte çözülür: x+(5x-24)=54 \Rightarrow 6x=78 \Rightarrow x=13, dolayısıyla y=54-13=41.
Sonuç: 41
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci '6 yıl önce' ifadesini yanlış yorumlayıp yaşlara 6 çıkarmak yerine 6 eklemiş: y+6=5(x+6). Bu durumda x+y=54 ile birlikte x=5, y=29 bulunur.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci koşulu yalnızca Ayşe için uygulamayı unutmuş, anneninkini geçmişe taşırken Ayşe'nin yaşını şimdiki haliyle kullanmış: y=5(x-6). Bu da x=14, y=40 sonucunu verir.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci '6 yıl önce' bilgisini tamamen göz ardı edip yaşları şimdiki haliyle orantılamış: y=5x. Bu durumda x+y=54'ten x=9, y=45 bulunur.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci koşulu yalnızca anne için geçmişe taşımış, Ayşe'nin yaşını şimdiki haliyle bırakmış: y-6=5x. Bu durumda x=8, y=46 bulunur.
Bu soru için Kolay zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Ali, Veli'den 4 yaş büyüktür. Veli ise Can'dan 3 yaş büyüktür. Bu üç kardeşin yaşları toplamı 6 yıl sonra 88 olacağına göre, Ali'nin şu anki yaşı kaçtır?
Doğrudan çözüm. Verilenlerden yola çıkıp istenen sayıyı hesaplatır. En yaygın soru biçimi.
Can'ın şimdiki yaşı $x$ olsun. Veli, Can'dan 3 yaş büyük olduğundan Veli $=x+3$; Ali, Veli'den 4 yaş büyük olduğundan Ali $=x+7$.
6 yıl sonra her birinin yaşına 6 eklenir.
6 yıl sonraki yaş toplamı 88 olduğuna göre denklemi kur.
Denklemi sadeleştir ve çöz.
Ali'nin şimdiki yaşı $x+7$ ile bulunur.
Sonuç: 27
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci $x=20$ değerini doğru bulur fakat soruda istenen Ali yerine Veli'nin şimdiki yaşını ($x+3=23$) cevap olarak verir.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci Veli-Can farkını (3 yaş) hesaba katmayı unutup Ali'yi doğrudan Can'dan 4 yaş büyük kabul eder: $(x+6)+(x+9)+(x+4+6)=88 \Rightarrow 3x+25=88 \Rightarrow x=21$, Ali$=x+4=25$.
Hesap hatası — yol doğru kurulur, ama işlemlerden biri yanlış yapılırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci toplam yaşın 6 yılda üç kişi için $3\cdot6=18$ artacağını fark etmez, sadece 6 ekler: $3x+10+6=88 \Rightarrow x=24$, Ali$=x+7=31$.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci '6 yıl sonra' koşulunu atlayıp 88'i doğrudan şimdiki yaşlar toplamı olarak alır: $x+(x+3)+(x+7)=88 \Rightarrow x=26$, Ali$=x+7=33$.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Emre ile dayısı arasındaki yaş farkı yıllar içinde hep aynı kalmaktadır. Dayısı, Emre'nin şu anki yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 20 idi. Emre, dayısının şu anki yaşına ulaştığında ise ikisinin yaşları toplamı 52 olacaktır. Buna göre Emre şu an kaç yaşındadır?
Tersten sorulmuş. Sonucu verir, oraya götüren başlangıç değerini ya da süreyi sorar. Öğrencinin geriye doğru düşünmesi gerekir.
Emre'nin şu anki yaşı x, dayısının şu anki yaşı y olsun. Aralarındaki yaş farkı zamanla değişmez, bu farkı d ile gösterelim.
Dayı, Emre'nin şu anki yaşı olan x'e ulaştığında bu, şu andan d yıl önceydi (çünkü dayı daha büyüktür). O zamanki Emre'nin yaşı x-d idi; toplam yaş x+(x-d)=2x-d verilmiştir. d=y-x yazılırsa denklem elde edilir.
Emre, dayısının şu anki yaşı olan y'ye ulaştığında bu, şu andan d yıl sonra olacaktır. O zaman dayının yaşı y+d olacak; toplam yaş y+(y+d)=2y+d=52'dir. d=y-x yazılırsa ikinci denklem elde edilir.
İki denklem birlikte çözülür: birinci denklemden y=3x-20 bulunup ikinci denklemde yerine konulur.
Bulunan değerler kontrol edilir: y=3(14)-20=22, d=22-14=8. 8 yıl önce toplam 14+6=20; 8 yıl sonra toplam 22+30=52; her iki koşul da sağlanır.
Sonuç: 14
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, iki toplam arasındaki farkın (52-20=32) doğrudan iki katının yaş farkını verdiğini (yani d=32/2=16) sanır. x+y=36 ile birlikte x=(36-16)/2=10 bulur. Oysa doğru ilişkide fark 4d'ye eşittir, d=8 olmalıdır.
Atlanan koşul — sorudaki şartlardan biri gözden kaçarsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci iki denklemi toplayarak x+y=36 sonucuna doğru ulaşır, ancak Emre ile dayısının farklı yaşta olduğunu göz ardı ederek x=y varsayımıyla ikiye böler ve x=18 bulur.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, sorudaki geçmiş zamana ait toplam olan 20'yi doğrudan Emre'nin şu anki yaşıyla karıştırıp bu sayıyı hatalı biçimde 20'ye yakın bir değer (burada verilen sayının kendisi) olarak cevaplar.
Yanlış kurulum — problem en baştan yanlış bir denkleme dökülürse öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci 'dayı Emre'nin yaşına geldiğinde' ve 'Emre dayısının yaşına geldiğinde' koşullarını birbirine karıştırıp denklemleri ters kurar: 3x-y=52 ve 3y-x=20. Bu denklemleri çözünce x=22 bulunur.
Bu soru için Orta zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.
Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 65'tir. Baba, oğlunun şu anki yaşındayken, oğlunun yaşı babanın şu anki yaşının $\frac{1}{4}$'ü kadardı. Buna göre, baba ile oğul arasındaki yaş farkının oğulun şu anki yaşına oranı kaçtır?
Karşılaştırma. Tek bir değeri değil, iki nicelik arasındaki farkı, oranı ya da sıralamayı sorar.
Babanın şu anki yaşı $x$, oğulun şu anki yaşı $y$ olsun. Yaşları toplamı verildiğinden ilk denklemi yazalım.
Baba, oğlunun şu anki yaşı olan $y$'ye sahipken kaç yıl önce olduğunu bulalım: yaş farkı sabit olduğundan bu, $(x-y)$ yıl öncesidir. O zaman oğulun yaşı, şimdiki yaşından bu süre kadar azdır.
Verilen koşula göre o anki (geçmişteki) oğul yaşı, babanın şu anki yaşının $\frac{1}{4}$'ü kadardır.
Bu denklemi düzenleyelim: her iki tarafı 4 ile çarpıp x ve y'yi bir arada toplayalım, ardından toplam denklemiyle birleştirelim.
Bu ilişkiyi toplam denkleminde yerine koyup x ve y'yi bulalım.
Yaş farkını bulup istenen oranı hesaplayalım.
Sonuç: $\frac{3}{5}$
Her yanlış şık rastgele seçilmiş bir sayı değildir; belirli bir hatayı yapan öğrencinin ulaşacağı sayıdır.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, 'baba oğlunun şu anki yaşındayken' ifadesini geleceğe dönük bir olay gibi yorumlayıp yanlış formülü ($2x-y$) kullanarak $2x-y=\frac{x}{4}$ denklemini kurar. Bu, yaş büyüklüğü ilişkisini tersine çevirir ve $y=\frac{7x}{4}$ bulunur; farkın oğul yaşına oranı $\frac{3}{7}$ çıkar.
Yarım kalmış çözüm — öğrenci doğru yolda ilerler ama son adımı atlarsa bu sonuca varır.
Öğrenci doğru ilişkiyi ($y=\frac{5x}{8}$) bulur ancak sorunun 'yaş farkının oğulun yaşına oranı'nı istediğini gözden kaçırıp doğrudan oğulun yaşının babanın yaşına oranını ($\frac{y}{x}=\frac{5}{8}$) cevap olarak verir.
Kavram yanılgısı — konunun mantığı yanlış anlaşılırsa öğrenci bu sonuca varır. Bunlar en öğretici yanlışlardır.
Öğrenci, '1/4'ü kadardı' ifadesindeki referansı karıştırarak bunun babanın değil oğulun şu anki yaşının 1/4'ü olduğunu varsayar ve $2y-x=\frac{y}{4}$ denklemini kurar. Bu durumda $y=\frac{4x}{7}$ bulunur ve farkın oğul yaşına oranı $\frac{3}{4}$ çıkar.
İşaret hatası — bir artı ya da eksi ters alınırsa öğrenci bu sonuca varır.
Öğrenci geçmişteki oğul yaşını hesaplarken işaret hatası yaparak $2y-x$ yerine $x-2y$ ifadesini kullanır ve denklemi $x-2y=\frac{x}{4}$ şeklinde kurar. Bu, $y=\frac{3x}{8}$ sonucunu verir ve farkın oğul yaşına oranı $\frac{5}{3}$ çıkar.
Bu soru için Zor zorluk hedeflenmişti. Bağımsız ölçüm henüz yapılmadığı için sorunun gerçek zorluğu kayda geçmedi.